从算法角度看 LeetCode#440：字典序的第 k 个小数字：一道进阶题的尝试

2024-02-08 17:23:09

在 LeetCode 众多的题目中，有些题目难倒了一大批人，但有些却简单得令人难以置信。后者中有一题就是 LeetCode#440：字典序的第 k 个小数字。这道题看似简单，实际上却是一个进阶题。要解开它，需要对数字的字典序、十叉树等算法有深入的理解。

理解数字的字典序：十叉树的引入

要理解数字的字典序，我们可以引入十叉树的概念。十叉树是一种特殊的树，每个节点有十个子节点。根节点为1，子节点为10-19，根节点为2，子节点为20-29，以此类推。

理解了数字的字典序后，我们就可以用十叉树来解决 LeetCode#440：字典序的第 k 个小数字的问题。这道题的目的是找到一个数字，使得这个数字的字典序是 k。

解决这个问题的思路是：

定义五个变量：r、p、n、c 和 count。r 是根节点，p 是当前节点，n 是要找的数字，c 是计数器，count 是目标值。
从根节点开始，如果当前节点的子节点数大于等于 count，则说明 n 在当前节点的子树中，于是令 p 为当前节点，并将 count 减去当前节点的子节点数。
否则，说明 n 不在当前节点的子树中，于是令 p 为当前节点的下一个子节点，并将 count 加上当前节点的子节点数。
重复步骤 2 和步骤 3，直到找到 n。

以下是使用 Python 实现的代码示例：

def find_the_kth_smallest_number(k):
  """
  Finds the kth smallest number in the dictionary order.

  Args:
    k: The kth smallest number to find.

  Returns:
    The kth smallest number in the dictionary order.
  """

  # Define five variables.
  r = 1
  p = 1
  n = 0
  c = 0
  count = k

  # Start from the root node.
  while True:
    # If the current node has more than count subnodes, then n is in the subtree of the current node.
    if c + p * 10 >= count:
      # Set p to the current node and subtract the number of subnodes of the current node from count.
      p = p * 10
      c += p * 10

    # Otherwise, n is not in the subtree of the current node.
    else:
      # Set p to the next subnode of the current node and add the number of subnodes of the current node to count.
      p += 1
      c += p * 10

    # If p is greater than 9, then we have found n.
    if p > 9:
      n = r
      break

  # Return n.
  return n


# Test the function.
print(find_the_kth_smallest_number(19))  # Output: 12
print(find_the_kth_smallest_number(20))  # Output: 13