从顶到底：最短路径如何走？LeetCode 120 三角形最小路径和破解！

闲谈

2024-01-27 23:27:39

探索最短路径的艺术：从 LeetCode 120 三角形最小路径和说起

动态规划：解决复杂问题的利器

在 LeetCode 120 三角形最小路径和的挑战中，我们面临着破解一个数字倒三角形矩阵，找到从顶端到底端的最小路径和。这绝非一场简单的数字游戏，而是算法思维和技能的较量。解决此难题的关键武器便是动态规划。

动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题，逐步求解并存储子问题结果，最终达到全局最优解的算法策略。它就像攀登一座大山，一步步向上，最终抵达峰顶。

逐层递进：动态规划的巧妙之处

动态规划将大问题细化为相关的小问题，逐个解决，并将结果存储起来。这样，当我们需要解决更大的问题时，可以直接调用已存储的子问题结果，避免重复计算，大大提升效率。

在 LeetCode 120 三角形最小路径和中，我们可以从三角形的底端开始，逐层向上推进。每一层，我们将每个位置的最短路径和与相邻位置的最短路径和进行比较，选择较小者作为当前位置的最短路径和。

代码实现：步步为营

在代码实现中，我们可以使用一个二维数组来表示三角形矩阵，每一行对应三角形的一层，每个元素对应相应位置的数字。为了方便计算，可以将二维数组最后一行的值复制到倒数第二行，避免数组越界问题。

在动态规划的循环中，从三角形矩阵的倒数第二行开始，逐层向上递推。每一层，比较每个位置的最短路径和与相邻位置的最短路径和，选择较小者作为当前位置的最短路径和。当到达三角形矩阵的顶端，顶端位置的值便是从顶端到底端的最小路径和。

def minimum_path_sum(triangle):
    """
    :type triangle: List[List[int]]
    :rtype: int
    """

    # 复制最后一行的值到倒数第二行
    for i in range(len(triangle) - 2, -1, -1):
        for j in range(i + 1):
            triangle[i][j] += triangle[i + 1][j]

    # 动态规划逐层递推
    for i in range(len(triangle) - 2, -1, -1):
        for j in range(i + 1):
            triangle[i][j] = min(triangle[i][j], triangle[i][j + 1])

    # 返回顶端位置的最小路径和
    return triangle[0][0]

复杂度分析：步步为营

LeetCode 120 三角形最小路径和的算法复杂度主要取决于三角形矩阵的大小。如果三角形矩阵有 n 层，算法的时间复杂度为 O(n^2)，这是因为我们在每一层都要遍历每一列，而每一层有 n 列。算法的空间复杂度也是 O(n^2)，因为我们需要使用一个二维数组来存储三角形矩阵和动态规划过程中产生的中间结果。

优化技巧：锦上添花

为了进一步优化 LeetCode 120 三角形最小路径和的算法，我们可以使用滚动数组来代替二维数组。这样，算法的空间复杂度就可以降低到 O(n)。

结论：登峰造极

LeetCode 120 三角形最小路径和的挑战让我们领略到动态规划的强大威力。这种算法策略可以将复杂的问题分解为一系列相关的小问题，逐一解决，最终达到全局最优解。在解决 LeetCode 120 三角形最小路径和问题的过程中，我们也学习到了很多有用的算法技巧，例如滚动数组的使用。

在算法的世界里，还有许许多多的挑战等待着我们去探索和征服。只要我们掌握正确的算法策略和技巧，就一定能够披荆斩棘，攻克难关。

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