优雅解读 LeetCode Top 100 - 70 爬楼梯，踏上精彩旅程

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2024-01-30 15:49:56

走进爬楼梯的世界

在一个阳光明媚的早晨，小明怀着兴奋的心情来到了宏伟的帝国大厦。他决定挑战自我，徒步登顶。然而，当他抬头仰望那高耸入云的建筑时，不禁有些望而生畏。这座大厦共有100层，每一层都有着几十级台阶，想要到达顶端，绝非易事。

小明深吸一口气，决定征服这座庞然大物。他迈开坚定的步伐，一级一级地向上攀登。然而，每走几层，他就开始气喘吁吁，双腿也变得酸痛无比。但他没有放弃，不断告诉自己：“我能行，我能行！”就这样，他咬紧牙关，坚持不懈地向上攀登。

终于，经过了漫长而艰苦的努力，小明终于登上了帝国大厦的顶端。站在100层的观景台上，他俯瞰着这座繁华的都市，心中涌起了一股自豪感。他为自己克服了挑战而感到欣喜，也为战胜了自我而感到骄傲。

小明的这段经历与我们的算法之旅何其相似。在算法的世界里，我们也会面临各种各样的挑战，就像小明面对的帝国大厦一样。然而，只要我们保持坚定的信念，一步一个脚印地前进，就一定能够克服困难，抵达成功的彼岸。

2. 算法视角下的爬楼梯

回到 LeetCode 70 题，爬楼梯问题要求我们计算小明从一层爬到第n层台阶的不同方法。在这里，我们假设小明一次只能向上爬一级或两级台阶。例如，如果n=3，那么小明可以有以下几种爬法：

1级+1级+1级
2级+1级
1级+2级

不难得出，当n=3时，小明有3种不同的爬法。那么，当n=4时，小明又会有多少种不同的爬法呢？

我们可以通过递归的方式来计算不同爬法的数量。具体步骤如下：

如果n=1，那么小明只有一种爬法，即1级。
如果n=2，那么小明有两种爬法，即1级+1级或2级。
如果n>2，那么小明有两种选择：
- 第一种选择是先爬一级台阶，然后再爬n-1级台阶。
- 第二种选择是先爬两级台阶，然后再爬n-2级台阶。

因此，当n>2时，小明爬楼梯的不同方法数量为f(n-1)+f(n-2)，其中f(n)表示小明爬到第n层台阶的不同方法数量。

3. 动态规划算法的优化

虽然递归算法可以解决爬楼梯问题，但它的效率却并不高。当n值较大时，递归算法会产生大量的重复计算，从而导致运行时间过长。为了提高算法的效率，我们可以采用动态规划算法来解决这个问题。

动态规划算法是一种自底向上的算法，它将问题分解成若干个子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的解。在爬楼梯问题中，我们可以将子问题定义为：小明爬到第n层台阶的不同方法数量。

根据上述子问题的定义，我们可以得到以下递推关系式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

其中，f(n)表示小明爬到第n层台阶的不同方法数量。

现在，我们就可以利用递推关系式来计算出从1层爬到n层台阶的不同方法数量。具体步骤如下：

初始化f(1)=1，f(2)=2。
对于i=3到n，计算f(i)=f(i-1)+f(i-2)。
返回f(n)。

通过这种方法，我们可以有效地避免重复计算，从而大大提高算法的效率。

4. 算法实现

以下是用 Python 编写的爬楼梯问题的动态规划算法实现：

def climb_stairs(n):
  """
  计算小明从一层爬到第n层台阶的不同方法数量。

  Args:
    n: 台阶数量。

  Returns:
    小明从一层爬到第n层台阶的不同方法数量。
  """

  # 初始化f(1)=1，f(2)=2。
  f = [0] * (n + 1)
  f[1] = 1
  f[2] = 2

  # 对于i=3到n，计算f(i)=f(i-1)+f(i-2)。
  for i in range(3, n + 1):
    f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]

  # 返回f(n)。
  return f[n]


if __name__ == "__main__":
  # 测试爬楼梯问题。
  print(climb_stairs(3))  # 3
  print(climb_stairs(5))  # 8
  print(climb_stairs(10))  # 89