矩阵快速幂实现So Easy！

见解分享

2024-01-04 11:00:36

矩阵快速幂：So Easy！问题的优雅解决方案

背景：So Easy！问题简介

So Easy！是一个经典的算法问题，要求我们计算一个给定矩阵的 n 次幂。乍一看，这可能需要大量计算，特别是对于大矩阵和高幂次的情况。然而，矩阵快速幂算法提供了一种巧妙而有效的方法来解决这个问题。

矩阵快速幂算法

矩阵快速幂的本质是利用二分法来加速计算。它将 n 表示为二进制数列，然后通过按位计算矩阵的幂次来逐步构建结果。该算法的具体步骤如下：

计算矩阵的平方（即 A^2）。
根据二进制数列中每一位的值，将结果矩阵与 A^2 或单位矩阵相乘。
重复步骤 2，直到遍历完所有二进制位。
最终得到的结果矩阵就是 A^n。

矩阵快速幂在 So Easy！问题中的应用

在 So Easy！问题中，我们使用矩阵快速幂算法来高效计算给定矩阵 A 的 n 次幂。我们首先计算 A^2，然后根据 n 的二进制表示，逐步更新结果矩阵。

代码实现：C++ 示例

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
  // 初始化给定矩阵 A 和幂次 n
  vector<vector<int>> A = {{1, 2}, {3, 4}};
  int n;
  cin >> n;

  // 计算 A^2
  vector<vector<int>> A2 = {{A[0][0] * A[0][0] + A[0][1] * A[1][0], A[0][0] * A[0][1] + A[0][1] * A[1][1]},
                              {A[1][0] * A[0][0] + A[1][1] * A[1][0], A[1][0] * A[0][1] + A[1][1] * A[1][1]}};

  // 初始化结果矩阵为单位矩阵
  vector<vector<int>> result = {{1, 0}, {0, 1}};

  // 根据 n 的二进制表示进行二分计算
  while (n > 0) {
    if (n % 2 == 1) {
      result = {{result[0][0] * A2[0][0] + result[0][1] * A2[1][0], result[0][0] * A2[0][1] + result[0][1] * A2[1][1]},
                {result[1][0] * A2[0][0] + result[1][1] * A2[1][0], result[1][0] * A2[0][1] + result[1][1] * A2[1][1]}};
    }
    A2 = {{A2[0][0] * A2[0][0] + A2[0][1] * A2[1][0], A2[0][0] * A2[0][1] + A2[0][1] * A2[1][1]},
          {A2[1][0] * A2[0][0] + A2[1][1] * A2[1][0], A2[1][0] * A2[0][1] + A2[1][1] * A2[1][1]}};
    n /= 2;
  }

  // 输出结果矩阵
  for (int i = 0; i < 2; i++) {
    for (int j = 0; j < 2; j++) {
      cout << result[i][j] << " ";
    }
    cout << endl;
  }

  return 0;
}