极简算法进阶：如何精妙计算平方数之和

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2023-12-20 12:21:53

每天刷 leetcode 是提高算法能力的好方法。让我们一起从 633 题平方数之和开始, 深入探索算法世界, 提升您的编程技巧。

平方数之和：问题解析

给定一个非负整数 n, 求出所有满足以下条件的非负整数对 (a, b) 的个数：

a^2 + b^2 = n
a 和 b 均为整数
a 和 b 都不超过 n

平方数之和的问题看似简单, 但却隐藏着丰富的数学奥秘和算法技巧。为了解决这个问题, 我们需要理解平方数的性质, 并应用整数分解和最优化算法来寻找最优解。

算法实现：数学与编程的完美结合

解决平方数之和问题的关键在于如何高效地分解整数。我们可以利用数学定理和编程技巧来实现这一点。

首先, 我们可以将整数 n 分解成平方数的和, 即 n = a^2 + b^2。然后, 我们可以枚举 a 的值, 并计算出 b 的值, 使得 a^2 + b^2 = n。

例如, 当 n = 5 时, 我们有以下分解方式：

1^2 + 2^2 = 5
2^2 + 1^2 = 5

因此, 满足条件的非负整数对 (a, b) 的个数为 2。

算法优化：寻找更优解

为了提高算法的效率, 我们可以采用一些优化技巧。

一种优化方法是利用平方数的性质。平方数总是以 1, 4, 9, 16, 25, ... 这样的模式递增。因此, 我们可以快速找到 a 的候选值, 从而减少枚举的范围。

另一种优化方法是利用二分查找。当我们枚举 a 的值时, 我们可以使用二分查找来找到对应的 b 值, 从而降低时间复杂度。

示例代码：算法的具体实现

def count_sum_of_squares(n):
    """
    计算平方数之和的非负整数对的个数

    参数：
        n: 给定的非负整数

    返回：
        满足条件的非负整数对的个数
    """

    # 初始化平方数的候选值列表
    square_candidates = []
    i = 1
    while i * i <= n:
        square_candidates.append(i * i)
        i += 1

    # 初始化结果计数器
    count = 0

    # 枚举 a 的值
    for a in square_candidates:
        # 使用二分查找找到对应的 b 值
        b = bisect.bisect_left(square_candidates, n - a)

        # 计算满足条件的非负整数对的个数
        count += b

    return count


# 测试算法
n = 10
result = count_sum_of_squares(n)
print(f"给定整数 n = {n}, 满足条件的非负整数对的个数为：{result}")