古伯兰德马戏团：角度的魅力与误差的纠正

2023-09-04 19:58:21

古伯兰德马戏团：角度的魅力与误差的纠正

在 Codeforces Beta Round #1 的 C. Ancient Berland Circus 题中，我们被要求计算一个三角形的三边长，已知其中两个角和一个边的长度。这道题乍一看似乎很简单，但仔细思考后，我们会发现存在一些误差问题需要考虑。

误差的来源

洛谷上的一些题解认为，之所以用 2π 减去两个角得到第三个角，是因为误差。但其实并非如此。对于第 13 个测试点，如果我们把图画出来量出三个角的大小并计算正弦值，我们会发现与程序运行结果相差无几。

那么，误差到底从何而来？

误差的根源：浮点数精度

误差的根源在于浮点数精度的限制。在计算机中，浮点数只能近似地表示实数，因此在进行计算时可能会产生误差。例如，如果我们使用浮点数计算 2π，结果可能不是一个精确的值，这就会导致计算出的三角形边长与实际边长存在误差。

解决误差的方法：使用 long double

为了解决误差问题，我们可以使用 long double 数据类型来进行计算。long double 是比 double 更精确的数据类型，它可以表示更大的数值范围，并具有更高的精度。使用 long double 可以减少计算误差，从而得到更准确的结果。

题解

现在，我们来详细讲解如何解决这道题。

首先，我们需要计算第三个角的角度。我们可以使用以下公式：

angle_c = 2 * pi - angle_a - angle_b

其中，angle_a 和 angle_b 是已知的两个角，angle_c 是要计算的第三个角。

接下来，我们需要计算三角形的三边长。我们可以使用正弦定理：

a / sin(angle_a) = b / sin(angle_b) = c / sin(angle_c)

其中，a、b、c 是三角形的三边长。

我们知道其中一边的长度为 l，我们可以利用正弦定理来计算另外两边长：

a = l * sin(angle_a) / sin(angle_c)
b = l * sin(angle_b) / sin(angle_c)

最后，我们将计算出的三边长输出即可。

示例代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long double ld;

int main() {
  ld angle_a, angle_b, l;
  cin >> angle_a >> angle_b >> l;

  ld angle_c = 2 * M_PI - angle_a - angle_b;

  ld a = l * sin(angle_a) / sin(angle_c);
  ld b = l * sin(angle_b) / sin(angle_c);

  cout << fixed << setprecision(10) << a << ' ' << b << ' ' << angle_c << endl;

  return 0;
}