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状态机动态规划之股票问题总结
后端
2023-09-25 23:05:16
股票问题是动态规划中经典的问题类型，因其复杂多变的市场环境而备受关注。本篇文章将对前面三篇股票问题的文章进行总结，重点分析各个问题中的状态转移过程，以帮助大家快速掌握状态机动态规划的精髓。
股票问题分类
股票问题通常分为两大类：
- 一次交易问题： 允许交易一次，即只买入一次、卖出一次。
- 多次交易问题： 允许进行多次交易，但有限制条件。
状态机动态规划
状态机动态规划是一种求解动态规划问题的有效方法，其主要思想是将问题抽象为一个状态机，并通过动态规划的方式求解该状态机的最优解。
股票问题中的状态转移
对于股票问题，状态转移通常涉及以下几个关键要素：
- 状态： 当前股票持有状态（持有/不持有）
- 时间： 交易进行的时间点
- 状态转移函数： 根据当前状态和时间，计算下一状态和收益
一次交易问题
一次交易问题中，状态转移函数主要由以下两个公式组成：
- 不持有股票状态：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]) - 持有股票状态：
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
其中，dp[i][0]表示第i天不持有股票的最大收益，dp[i][1]表示第i天持有股票的最大收益，prices[i]表示第i天的股票价格。
多次交易问题
多次交易问题中，状态转移函数通常由以下两个公式组成：
- 不持有股票状态：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee) - 持有股票状态：
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
其中，fee为每次交易的费用。
实例
以一次交易问题为例，详细说明状态转移过程：
- 第一天，既可以不持有股票（
dp[1][0]），也可以买入股票（dp[1][1] = -prices[1]）。 - 第二天，如果前一天没有持有股票，则可以选择继续不持有（
dp[2][0] = dp[1][0]），也可以买入股票（dp[2][1] = -prices[2]）；如果前一天持有股票，则可以选择继续持有（dp[2][1] = dp[1][1]），也可以卖出股票（dp[2][0] = dp[1][1] + prices[2]）。
总结
通过分析股票问题中的状态转移过程，我们可以总结出状态机动态规划的通用步骤：
- 定义状态和状态转移函数。
- 初始化动态规划表。
- 逐层计算动态规划表中的每个状态。
- 从动态规划表中得到最优解。
掌握了状态机动态规划的思想和方法，我们可以解决各类动态规划问题，包括股票问题、背包问题和最长公共子序列问题等。
