Python 中正系数线性回归建模：深入探索及解决方案

2024-04-02 11:01:00

Python 中正系数线性回归建模：深入探索

引言

线性回归是机器学习中一种广泛应用的统计建模技术，用于预测连续变量。传统的线性回归模型并不能保证预测系数具有特定的符号。然而，在某些场景中，我们可能需要拟合一个具有正系数的模型，以确保模型输出符合实际语义。

解决方法

1. Lasso 回归

Lasso 回归（最小绝对收缩和选择算子）是一种正则化线性回归模型，它通过惩罚系数的绝对值实现变量选择和正则化。通过设置 positive=True 参数，我们可以强制 Lasso 模型中的系数为正。但需要注意，将 alpha 参数设置为 0 可能会导致模型不收缩，从而带来过拟合的风险。

from sklearn.linear_model import Lasso

lasso = Lasso(positive=True)
lasso.fit(X, y)

# 获取正系数
coefs = lasso.coef_

2. 非负最小二乘回归

非负最小二乘回归（NNLS）专门用于拟合具有非负系数的线性回归模型。它通过求解以下优化问题来实现：

min ||Ax - b||_2^2
subject to x >= 0

其中 A 是设计矩阵，x 是系数向量，b 是响应变量向量。

import numpy as np
from scipy.optimize import nnls

def nnls_regression(X, y):
    coefs, _ = nnls(X, y)
    return coefs

# 拟合模型
coefs = nnls_regression(X, y)

3. 二次规划

二次规划是一种优化技术，用于求解具有线性约束的二次目标函数。它可以用来拟合具有正系数的线性回归模型，如下所示：

min 1/2 x'Ax + b'x
subject to x >= 0

其中 A 是设计矩阵，x 是系数向量，b 是响应变量向量。

import cvxpy as cp

X = cp.Variable((n_features,))
objective = cp.Minimize(0.5 * cp.quad_form(X, A) + b.T @ X)
constraints = [X >= 0]

prob = cp.Problem(objective, constraints)
prob.solve()

# 获取正系数
coefs = X.value

结论

在 Python 中拟合具有正系数的线性回归模型有几种方法。Lasso 回归是一种常用的选择，但可能导致过拟合。非负最小二乘回归和二次规划提供了更专门的方法来获得具有非负系数的模型。根据特定问题和数据要求，选择最合适的方法至关重要。

常见问题解答

为什么需要正系数的线性回归模型？
- 在某些情况下，例如财务预测或物理模型，模型输出必须具有正值，以符合实际意义。
Lasso 回归和 NNLS 有什么区别？
- Lasso 回归是一种正则化技术，而 NNLS 专门用于拟合非负系数模型。
二次规划如何用于拟合正系数模型？
- 二次规划可以求解具有线性约束的二次目标函数，我们利用这个特性来拟合具有非负系数的线性回归模型。
如何选择最合适的拟合方法？
- 选择方法时，考虑数据的特性、模型的复杂度以及正系数的严格性。
如何评估拟合模型的性能？
- 使用标准性能指标，如均方误差 (MSE)、均方根误差 (RMSE) 和决定系数 (R^2)，评估模型在训练集和测试集上的表现。