深入剖析卡尔曼滤波及扩展卡尔曼滤波的原理与推导过程

后端

2023-02-04 15:42:46

卡尔曼滤波：贝叶斯概率与状态估计的完美融合

一、卡尔曼滤波的本质：贝叶斯魔法

卡尔曼滤波是一种参数化的贝叶斯模型，它通过结合先验估计（预测的先验概率分布）和测量反馈（似然函数）来估计动态系统的状态。

想象一下，你要在迷雾中驾驶汽车。卡尔曼滤波就像一个导航系统，利用你以前的驾驶行为和沿途的传感器数据，不断更新你对当前位置的估计。

二、卡尔曼滤波的步骤：预测与更新

卡尔曼滤波有两个关键步骤：

1. 预测： 根据先验估计和系统模型预测下一时刻的状态。

2. 更新： 利用观测模型和测量值更新状态估计。

通过这两个步骤的迭代，卡尔曼滤波逐渐收敛到系统的真实状态。

三、扩展卡尔曼滤波：非线性的优雅

扩展卡尔曼滤波 (EKF) 是卡尔曼滤波的一种扩展形式，适用于非线性系统。它通过对非线性系统进行一阶泰勒展开，将其近似为线性系统，然后应用卡尔曼滤波。

四、卡尔曼滤波的应用：广阔的领域

卡尔曼滤波及其扩展形式广泛应用于：

导航
机器人学
控制
信号处理
经济预测

它是一种强大的状态估计工具，可以帮助我们从 noisy 数据中提取有意义的信息。

代码示例：Python 实现

import numpy as np
from scipy.linalg import inv

# 系统模型
A = np.array([[1, 1], [0, 1]])  # 状态转移矩阵
B = np.array([[0], [1]])  # 输入矩阵
Q = np.array([[0.05, 0], [0, 0.05]])  # 过程噪声协方差矩阵

# 观测模型
H = np.array([[1, 0]])  # 观测矩阵
R = 0.1  # 测量噪声协方差

# 初始值
x = np.array([[0], [0]])  # 状态
P = np.array([[0.1, 0], [0, 0.1]])  # 协方差矩阵

# 卡尔曼滤波
for i in range(100):
    # 预测
    x_pred = np.dot(A, x) + np.dot(B, u)  # 预测状态
    P_pred = np.dot(np.dot(A, P), A.T) + Q  # 预测协方差矩阵

    # 更新
    z = H.dot(x_pred) + np.random.normal(0, R)  # 测量值
    K = np.dot(np.dot(P_pred, H.T), inv(np.dot(H.dot(P_pred), H.T) + R))  # 卡尔曼增益
    x = x_pred + np.dot(K, (z - H.dot(x_pred)))  # 更新状态
    P = np.dot(np.dot((I - np.dot(K, H)), P_pred), (I - np.dot(K, H)).T) + np.dot(np.dot(K, R), K.T)  # 更新协方差矩阵

    # 输出结果
    print("状态：", x)
    print("协方差：", P)