0.1 + 0.2 不等于 0.3？怪谁？

数学世界中，0.1 + 0.2 等于 0.3 是天经地义的事。但在计算机世界里，这个简单的加法却会产生一个让人大跌眼镜的结果：0.1 + 0.2 并不等于 0.3！

这个神奇的现象背后，是计算机二进制世界的本质以及浮点数计算的奥秘。今天，我们就来一探究竟。

进制转换：从十进制到二进制

计算机内部的世界是用二进制来表示的，而我们人类习惯于使用十进制。当我们需要在计算机中存储十进制小数时，就需要进行进制转换。

以 0.1 为例，它的十进制表示可以写成：

0.1 = 1/10 = 1 * 10^(-1)

转换成二进制，我们需要不断除以 2，取余数：

0.1 = 1/10 = 0.000110011001100110011... (二进制)

由于二进制小数是小数点后只能有 0 和 1 的无理数，因此无法精确表示 0.1。计算机只能近似地将它存储为：

0.1 ≈ 0.00011001100110011 (二进制)

这个近似值被称为浮点数 。

IEEE 754：浮点数的标准化

为了在不同计算机系统中实现浮点数计算的兼容性，IEEE 754 标准被广泛采用。它定义了浮点数的表示格式和运算规则。

IEEE 754 浮点数由三个部分组成：

• 符号位： 表示数字的正负号
• 指数位： 表示数字的阶码，即小数点的位置
• 尾数位： 表示数字的小数部分

浮点数计算：舍入的艺术

浮点数计算涉及到一系列复杂的运算，其中舍入操作尤为关键。当浮点数进行加减乘除时，计算机往往会产生一个中间结果，这个结果通常是一个无限小数。

为了得到一个有限的表示，计算机需要对中间结果进行舍入。IEEE 754 标准定义了四种舍入方式：

• 向最近的偶数舍入
• 向正无穷大舍入
• 向负无穷大舍入
• 向 0 舍入

在默认情况下，计算机使用向最近的偶数舍入的方式。这意味着当中间结果是小数点后第 n 位时，如果第 n+1 位为偶数，则舍入到小数点后第 n 位；如果第 n+1 位为奇数，则舍入到小数点后第 n+1 位。

0.1 + 0.2 ≠ 0.3 的真相

现在，我们终于可以揭开 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 之谜了。

当计算机执行 0.1 + 0.2 时，首先将它们转换成浮点数：

0.1 ≈ 0.00011001100110011 (二进制)
0.2 ≈ 0.0011001100110011 (二进制)

进行加法运算后，得到中间结果：

0.3 ≈ 0.0100011001100110011... (二进制)

由于尾数位小数点后第 4 位为奇数，根据 IEEE 754 标准的舍入规则，应该舍入到小数点后第 5 位。因此，最终结果为：

0.3 ≈ 0.01000110011001101 (二进制)

转换回十进制，得到：

0.3 ≈ 0.2999999999999999888977697537484345957636833190918

这就是为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 的原因。计算机的二进制表示、浮点数计算的近似性质以及舍入操作，共同造就了这一看似矛盾的现象。

结语

0.1 + 0.2 ≠ 0.3 并不是计算机的失误，而是它以二进制方式处理数字的必然结果。理解浮点数计算的原理，有助于我们更深入地了解计算机的世界，避免在编程和计算中陷入误区。