点到平面的投影点：深入理解和应用指南

点到平面的最近点：投影点

在上一篇教程中，我们探索了点到平面的距离计算。本篇教程将进一步探讨如何找到点到平面的最近点，即投影点或垂足。

投影点构造

我们已经计算出向量 AC 在平面法线上的投影长度，即向量 AD。要构造投影点，我们需要将点 C 沿着特定方向移动一段距离。移动距离等于点 C 到平面的距离，方向等于平面法线的相反方向。

设投影点为 P，则由相似三角形可得：

CP / AD = CD / AC

其中，CD 是点 C 到平面距离。

将此公式代入向量形式，并使用向量 AD 的定义，得到：

CP = (CD / AC) * AD

我们已知 CD 和 AC，因此可以计算 CP。向量 CP 的方向等于平面法线的相反方向，即：

n = -n̂

其中，n̂ 是平面法线的单位向量。

投影点坐标

现在我们知道投影点的方向和长度，可以计算其坐标。设点 C 的坐标为 (x1, y1, z1)，投影点 P 的坐标为 (x2, y2, z2)。则：

P = C + CP

代入 CP 的计算公式，得到：

(x2, y2, z2) = (x1, y1, z1) + ((CD / AC) * (dx, dy, dz))

其中，(dx, dy, dz) 是向量 AD 的坐标分量。

实例

设平面方程为：

2x + 3y - z = 5

平面法线为：

n̂ = (2, 3, -1)

点 C 的坐标为：

(1, 2, 3)

求投影点的坐标

1. 计算点 C 到平面的距离：

CD = |(2)(1) + (3)(2) - (1)(3) - 5| / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = 2

2. 计算向量 AD 的坐标分量：

AD = ((2x̂ + 3ŷ - ẑ) / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2)) * 2
= (4/sqrt(14), 6/sqrt(14), -2/sqrt(14))

3. 计算向量 CP：

CP = (2/3) * (4/sqrt(14), 6/sqrt(14), -2/sqrt(14))
= (8/3sqrt(14), 12/3sqrt(14), -4/3sqrt(14))

4. 计算投影点 P 的坐标：

(x2, y2, z2) = (1, 2, 3) + (8/3sqrt(14), 12/3sqrt(14), -4/3sqrt(14))
= (31/3sqrt(14), 40/3sqrt(14), 5/3sqrt(14))

因此，投影点的坐标为：

(31/3sqrt(14), 40/3sqrt(14), 5/3sqrt(14))