剖析和比较：寻找两个正序数组的中位数的两种解法

2024-01-04 05:25:40

寻找两个正序数组的中位数是算法面试中的常见问题，也是一个具有实际应用价值的问题。本文将比较两种常见的算法：合并法和二分法，剖析它们的优缺点和适用场景，帮助读者更好地理解和选择最适合自己需求的算法。

合并法

合并法是解决该问题的一种简单直接的方法。其基本思想是将两个数组合并为一个有序数组，然后根据合并后数组的长度是奇数还是偶数来确定中位数。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    """
    :type nums1: List[int]
    :type nums2: List[int]
    :rtype: float
    """
    # 合并两个数组
    merged = sorted(nums1 + nums2)
    
    # 根据合并后数组的长度确定中位数
    n = len(merged)
    if n % 2 == 0:
        # 偶数个元素，中位数是中间两个元素的平均值
        median = (merged[n // 2 - 1] + merged[n // 2]) / 2
    else:
        # 奇数个元素，中位数是中间元素
        median = merged[n // 2]
    
    return median

合并法的优点是简单易懂，实现起来也很方便。但是，合并法的时间复杂度是 O(m + n)，其中 m 和 n 分别是两个数组的长度。当数组很大时，合并法会变得非常慢。

二分法

二分法是解决该问题的一种更有效的方法。其基本思想是在两个数组中同时进行二分搜索，找到两个数组的中位数。

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    """
    :type nums1: List[int]
    :type nums2: List[int]
    :rtype: float
    """
    # 获取两个数组的长度
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    
    # 如果第一个数组为空，则中位数是第二个数组的中位数
    if m == 0:
        return findMedianSortedArray(nums2)
    
    # 如果第二个数组为空，则中位数是第一个数组的中位数
    if n == 0:
        return findMedianSortedArray(nums1)
    
    # 计算两个数组的中位数
    median1 = findMedianSortedArray(nums1)
    median2 = findMedianSortedArray(nums2)
    
    # 如果两个数组的中位数相等，则中位数是两个中位数的平均值
    if median1 == median2:
        return median1
    
    # 如果两个数组的中位数不相等，则中位数是两个中位数之间的某个值
    # 计算两个中位数之间的距离
    distance = abs(median1 - median2)
    
    # 在两个数组中进行二分搜索，找到距离中位数最小的值
    while distance > 0:
        # 计算两个数组中二分搜索的边界
        left1 = max(0, median1 - distance // 2)
        right1 = min(m, median1 + distance // 2)
        left2 = max(0, median2 - distance // 2)
        right2 = min(n, median2 + distance // 2)
        
        # 在两个数组中进行二分搜索
        num1 = nums1[left1:right1 + 1]
        num2 = nums2[left2:right2 + 1]
        
        # 计算两个数组中二分搜索的结果
        median1 = findMedianSortedArray(num1)
        median2 = findMedianSortedArray(num2)
        
        # 更新两个中位数之间的距离
        distance = abs(median1 - median2)
    
    # 返回两个中位数之间的值
    return (median1 + median2) / 2

def findMedianSortedArray(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: float
    """
    # 获取数组的长度
    n = len(nums)
    
    # 如果数组为空，则返回 0
    if n == 0:
        return 0
    
    # 如果数组只有一个元素，则返回该元素
    if n == 1:
        return nums[0]
    
    # 计算数组的中位数
    if n % 2 == 0:
        # 偶数个元素，中位数是中间两个元素的平均值
        median = (nums[n // 2 - 1] + nums[n // 2]) / 2
    else:
        # 奇数个元素，中位数是中间元素
        median = nums[n // 2]
    
    return median