化繁为简：掌握 LeetCode 1217，高效解决筹码移动难题

动态规划解 LeetCode 1217：玩筹码

前言

在解决 LeetCode 1217（玩筹码）时，我们要面对一个有趣的难题，即在不改变筹码相对顺序的情况下，将一排筹码移动到同一位置。这个任务看似简单，但为了找到最优解，我们需要借助动态规划的强大力量。

动态规划方法

第一步：定义状态

为了解决这个问题，我们定义了一个二维数组 dp[i][j]，其中：

• i 表示正在移动的筹码数（从左到右）
• j 表示筹码要移动到的位置

dp[i][j] 的值表示将前 i 个筹码移动到位置 j 所需的最小移动次数。

第二步：初始化

• 当 i 为 1 时，只需 0 次移动即可将第一个筹码移动到任何位置，因此 dp[1][j] = 0。
• 当 j 为筹码的初始位置时，同样只需 0 次移动，因此 dp[i][j] = 0。

第三步：状态转移

对于一般情况，我们有两种选择：

1. 将第 i 个筹码移动到位置 j-1，然后再将前 i-1 个筹码移动到位置 j-1，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + abs(position[i] - j + 1)。
2. 将第 i 个筹码移动到位置 j+1，然后再将前 i-1 个筹码移动到位置 j+1，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j+1] + abs(position[i] - j - 1)。

代码示例

public class Solution {
    public int minCostToMoveChips(int[] position) {
        int n = position.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][2];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                int left = 0, right = 0;
                if (j == 0) {
                    left = dp[i - 1][j] + Math.abs(position[i - 1] - (position[i] - 1));
                    right = dp[i - 1][j + 1] + Math.abs(position[i - 1] - (position[i] + 1));
                } else {
                    left = dp[i - 1][j - 1] + Math.abs(position[i - 1] - (position[i] - 1));
                    right = dp[i - 1][j] + Math.abs(position[i - 1] - (position[i] + 1));
                }
                dp[i][j] = Math.min(left, right);
            }
        }

        return dp[n][0];
    }
}

结论

通过使用动态规划，我们可以高效地解决玩筹码难题。该方法涉及三个关键步骤：状态定义、状态初始化和状态转移。通过采用这种方法，我们可以系统地查找移动筹码的最优解，并确保效率和准确性。

常见问题解答

1. 为什么要使用动态规划？
   动态规划可以将复杂问题分解为更小的子问题，并使用存储的解决方案来解决更大的问题，从而提高效率。

2. dp[i][j] 值的意义是什么？
   dp[i][j] 值表示将前 i 个筹码移动到位置 j 所需的最小移动次数。

3. 状态转移方程如何推导出来的？
   状态转移方程是通过考虑移动第 i 个筹码到位置 j-1 或 j+1 的两种情况，然后计算每种情况的移动次数来推导出来的。

4. 代码中为什么使用二维数组？
   二维数组 dp 存储了所有可能的子问题的解决方案，使我们可以轻松查找最优解。

5. 这种方法可以应用于其他问题吗？
   是的，动态规划是一种通用的算法，可以应用于各种优化问题，如背包问题、最长公共子序列问题和编辑距离问题。