关联探索：皮尔逊与斯皮尔曼，谁更能捕捉变量亲密？

相关性分析：皮尔逊与斯皮尔曼，数据分布的影响

相关性分析是研究两个或多个变量之间相互关联程度的基本统计工具。在相关性分析中，皮尔逊相关系数 和斯皮尔曼相关系数 是两大最常用的统计量。

皮尔逊相关系数：衡量线性关系

皮尔逊相关系数 测量的是两个变量之间的线性相关关系。其计算公式为：

r = (Σ(x - x̄)(y - ȳ)) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

其中，r 表示皮尔逊相关系数，x 和 y 分别是两个变量的值，x̄ 和 ȳ 是 x 和 y 的平均值，Σ 表示求和。

斯皮尔曼相关系数：捕捉单调关系

斯皮尔曼相关系数 是一种非参数相关系数，它测量的是两个变量之间的单调相关关系。其计算公式为：

r_s = 1 - (6Σd² / (n³ - n))

其中，r_s 表示斯皮尔曼相关系数，d 是两个变量的差值，n 是数据个数，Σ 表示求和。

皮尔逊 VS 斯皮尔曼：谁更胜一筹？

皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数各有优缺点，在不同的数据分布和研究目的下，它们的表现也不尽相同。

• 数据分布要求： 皮尔逊相关系数对数据分布有较强的假设，要求数据呈正态分布或近似正态分布。如果数据分布不满足正态分布，皮尔逊相关系数可能会产生偏差。斯皮尔曼相关系数对数据分布没有严格的假设，即使数据分布不满足正态分布，它也能提供可靠的相关性估计。

• 异常值影响： 皮尔逊相关系数对异常值敏感，容易受到极端值的影响。斯皮尔曼相关系数对异常值不敏感，能够过滤掉异常值的影响。

• 线性关系 VS 单调关系： 皮尔逊相关系数衡量的是两个变量之间的线性相关关系，而斯皮尔曼相关系数衡量的是两个变量之间的单调相关关系。线性相关关系是指变量之间呈一条直线的关系，而单调相关关系是指变量之间呈单调递增或递减的关系。

因此，在数据分布满足正态分布或近似正态分布，且没有异常值的情况下，皮尔逊相关系数是更好的选择。如果数据分布不满足正态分布，或者存在异常值，则斯皮尔曼相关系数是更好的选择。

热力图：直观呈现相关性

热力图 是一种数据可视化工具，它可以将相关性矩阵中的数据以颜色梯度的方式呈现出来，从而直观地展示变量之间的相关关系。热力图中的颜色越深，表示相关性越强。

我们可以通过热力图来比较皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数在不同数据分布下的表现。下图展示了皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数在正态分布、偏态分布和均匀分布下的热力图。

[图片]

从热力图中可以看出，皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数在正态分布下的表现基本一致，但在偏态分布和均匀分布下的表现却截然不同。皮尔逊相关系数在偏态分布和均匀分布下的相关性估计明显低于斯皮尔曼相关系数，这说明皮尔逊相关系数对数据分布的假设非常敏感。

结论：根据需要选择合适的统计量

皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数都是相关性分析中常用的统计量，它们各有优缺点，在不同的数据分布和研究目的下，它们的表现也不尽相同。因此，在进行相关性分析时，根据研究目的和数据分布选择合适的统计量非常重要。

常见问题解答

1. 如何计算皮尔逊相关系数？

皮尔逊相关系数的计算公式为：

r = (Σ(x - x̄)(y - ȳ)) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

其中，r 表示皮尔逊相关系数，x 和 y 分别是两个变量的值，x̄ 和 ȳ 是 x 和 y 的平均值，Σ 表示求和。

2. 如何计算斯皮尔曼相关系数？

斯皮尔曼相关系数的计算公式为：

r_s = 1 - (6Σd² / (n³ - n))

其中，r_s 表示斯皮尔曼相关系数，d 是两个变量的差值，n 是数据个数，Σ 表示求和。

3. 皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数有什么区别？

皮尔逊相关系数衡量的是两个变量之间的线性相关关系，而斯皮尔曼相关系数衡量的是两个变量之间的单调相关关系。皮尔逊相关系数对数据分布有较强的假设，要求数据呈正态分布或近似正态分布。斯皮尔曼相关系数对数据分布没有严格的假设，即使数据分布不满足正态分布，它也能提供可靠的相关性估计。

4. 如何使用热力图来可视化相关性？

热力图是一种数据可视化工具，它可以将相关性矩阵中的数据以颜色梯度的方式呈现出来，从而直观地展示变量之间的相关关系。热力图中的颜色越深，表示相关性越强。

5. 在什么情况下应该使用皮尔逊相关系数？

在数据分布满足正态分布或近似正态分布，且没有异常值的情况下，应该使用皮尔逊相关系数。