动态规划详解：一文搞懂概念、类型和应用场景

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2023-03-07 21:00:42

动态规划：分步征服，高效求解复杂问题

在解决复杂问题时，有时我们会发现自己陷入了困境，被重重叠叠的子问题所困扰。传统的方法可能导致重复计算，浪费大量时间和资源。但别担心，动态规划在这里闪亮登场，它将帮助我们用一种更聪明、更高效的方式解决这些问题。

动态规划：分治有道，避免重复

动态规划的核心思想就是将大问题分解成更小的子问题，然后逐步求解这些子问题。关键在于，这些子问题通常存在重叠，这意味着我们可以存储子问题的解，并在求解更大问题时复用它们。通过这种方式，我们可以避免重复计算，节省大量时间和资源。

自顶向下与自底向上：两种解决策略

动态规划有两种主要的实现策略：自顶向下和自底向上。

自顶向下 ：从问题的最顶层开始，逐层分解子问题。它的优点是比较容易理解和实现，但缺点是空间复杂度较高。
自底向上 ：从问题的最底层开始，逐层向上合并子问题的解。它的优点是空间复杂度较低，但缺点是时间复杂度较高。

动态规划的应用天地：广泛无垠

动态规划的应用领域极其广泛，涵盖了计算机科学、运筹学、经济学、生物学等多个学科。以下是一些典型的应用场景：

最长公共子序列
最长公共子串
最长上升子序列
背包问题
旅行商问题
最小路径和问题
最短路径问题
最大权独立集问题
最大团问题
图着色问题
最小生成树问题
矩阵链乘问题
最优二叉搜索树问题

Python实现：最长公共子序列

为了更好地理解动态规划的实际应用，让我们用 Python 实现一个求最长公共子序列的算法：

def lcs(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)

    # 创建二维数组来存储子问题的解
    dp = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]

    # 填充二维数组
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if X[i - 1] == Y[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    # 返回最长公共子序列的长度
    return dp[m][n]


if __name__ == "__main__":
    X = "ABCDGH"
    Y = "AEDFHR"
    print("最长公共子序列的长度为：", lcs(X, Y))