攻克 LeetCode 629. K 个逆序对数组，轻松搞定热门数据结构面试题

2023-08-13 00:46:39

掌握 LeetCode 629：K 个逆序对数组，轻松应对面试

数据结构是计算机科学的基石，也是面试中的高频考点。其中，LeetCode 629. K 个逆序对数组是一道经典难题，考验着求职者的数据结构基础和算法思维。本文将深入剖析这道题的解题思路，并提供详细的 Python 代码实现，帮助你轻松应对面试中的挑战。

理解题意：逆序对与数组

逆序对：
在给定数组中，当一个元素出现在另一个比它小的元素后面时，便形成一个逆序对。例如，在数组 [3, 1, 2] 中，(3, 1) 和 (3, 2) 是两个逆序对。

题目要求：
给定两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的数组。

解题思路：动态规划

这道题的巧妙之处在于采用动态规划的思想，将问题分解为若干个子问题。

子问题定义：
dp[i][j] 表示长度为 i 的数组中恰好有 j 个逆序对的方案数。

状态转移方程：
对于每个长度为 i 的数组，它可以分为前半部分和后半部分。前半部分包含从 1 到 m 的数字，后半部分包含从 m+1 到 n 的数字。其中，m 是一个从 0 到 n-1 的整数。

为了满足 k 个逆序对的要求，需要满足以下条件：

前半部分的逆序对数为 x。
后半部分的逆序对数为 k-x。
前半部分和后半部分的数字按顺序排列。

因此，对于每个可能的 x 值，可以递归生成一个满足条件的前半部分数组。然后，将前半部分数组和后半部分数组合并，即可得到一个满足条件的完整数组。

代码实现：Python

def kInversePairs(n: int, k: int) -> int:
    # dp[i][j] 表示长度为 i 的数组中恰好有 j 个逆序对的方案数
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 初始化
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = 1

    # 递推
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

            # 避免越界
            if j >= i:
                dp[i][j] -= dp[i - 1][j - i]

    return dp[n][k] % (10 ** 9 + 7)