LeetCode 576. Out of Boundary Paths：破解边界路径的奥秘

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2023-11-25 09:50:48

1. 理解问题

LeetCode 576. Out of Boundary Paths 的问题陈述如下：

给定一个大小为 m x n 的网格和一个球。球的起始坐标为 [startRow, startColumn] 。你有 k 次机会将球从一个格子移动到相邻的格子（上、下、左、右）。如果球在任何时刻离开网格，则游戏结束。

你的目标是找到从起始坐标出发，经过 k 次移动，返回到起始坐标的路径数。由于答案可能很大，所以你只需返回答案模 10^9 + 7 的值。

2. 建立数学模型

为了解决这个问题，我们需要建立一个数学模型来球的移动过程。我们可以将网格视为一个有向图，其中每个格子都是一个节点，从一个格子到相邻格子的移动被视为一条边。

设状态 f(i, j, k) 表示从起始坐标 (startRow, startColumn) 出发，经过 k 次移动，到达格子 (i, j) 的路径数。

根据动态规划的思想，我们可以通过以下递推关系来计算状态 f(i, j, k)：

f(i, j, k) = sum(f(x, y, k-1)) for all (x, y) adjacent to (i, j) and inside the grid

其中，sum(...) 表示相邻格子状态的路径数之和。

3. 动态规划求解

有了数学模型之后，我们可以使用动态规划算法来求解这个问题。

def num_paths(m, n, k, start_row, start_column):
  # Initialize the dp array
  dp = [[[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n)] for _ in range(m)]

  # Set the base case
  dp[start_row][start_column][0] = 1

  # Iterate over the remaining values of k
  for step in range(1, k+1):
    # Iterate over all the cells in the grid
    for i in range(m):
      for j in range(n):
        # Sum the paths from adjacent cells
        for dx, dy in [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]:
          x, y = i + dx, j + dy
          if 0 <= x < m and 0 <= y < n:
            dp[i][j][step] += dp[x][y][step-1]

  # Return the number of paths from the starting cell
  return dp[start_row][start_column][k] % (10**9 + 7)