算法进阶：寻找两个正序数组的中位数，步步拆解算法精髓

闲谈

2023-12-24 18:14:45

中位数 ：数据的中间值

在统计学中，中位数是一个广泛使用的度量，用于数据集的中心位置。与平均值不同，中位数不受极端值的影响，因为它只考虑数据的中间值。

想象一下一个数据集就像一条排列着数字的直线。中位数就是这条直线上的中间数字，将数据集分为两半：一半数字比中位数小，一半数字比中位数大。

找到两个有序数组的中位数

在实际应用中，我们经常需要合并来自不同来源或数据集的数字。例如，你想比较两个购物网站上同一产品的价格，或者合并两个不同考试中学生的成绩。

为了有效地执行这些操作，我们需要找到合并后数组的中位数。这可以利用分治算法来高效完成。分治算法将问题分解成较小的问题，分别求解，然后合并结果。

算法步骤

确定合并后数组的长度 ：合并后数组的长度等于两个原始数组长度之和，即 m + n。
计算中位数索引 ：中位数索引是合并后数组长度除以 2，即 (m + n) / 2。
确定左半部分的最大值和右半部分的最小值 ：
- 左半部分的最大值：如果 m + n 为偶数，则为索引 (m + n) / 2 - 1 处的数字。如果 m + n 为奇数，则为索引 (m + n) / 2 处的数字。
- 右半部分的最小值：如果 m + n 为偶数，则为索引 (m + n) / 2 处的数字。如果 m + n 为奇数，则为索引 (m + n) / 2 + 1 处的数字。
确定中位数 ：
- 如果左半部分的最大值小于或等于右半部分的最小值，则中位数为左半部分的最大值。
- 如果左半部分的最大值大于右半部分的最小值，则中位数为右半部分的最小值。

算法分析

时间复杂度 ：O(log(m + n))。该算法的运行时间与合并后数组的长度成正比，因此时间复杂度为 O(log(m + n))。
空间复杂度 ：O(1)。该算法不需要额外的空间来存储中间结果，因此空间复杂度为 O(1)。

代码示例

def find_median_of_two_sorted_arrays(nums1, nums2):
  """
  Finds the median of two sorted arrays.

  Args:
    nums1 (list): The first sorted array.
    nums2 (list): The second sorted array.

  Returns:
    float: The median of the two sorted arrays.
  """

  # Check if the arrays are empty.
  if not nums1 and not nums2:
    return None

  # Merge the two arrays.
  merged_array = merge_two_sorted_arrays(nums1, nums2)

  # Find the length of the merged array.
  length = len(merged_array)

  # Find the median of the merged array.
  if length % 2 == 0:
    median = (merged_array[length // 2 - 1] + merged_array[length // 2]) / 2
  else:
    median = merged_array[length // 2]

  return median