揭开dfs序和欧拉序的奥秘：树上问题的区间之道

各位亲爱的读者，今天让我们踏上探索树上问题的精彩旅程，我们将深入探讨dfs序 和欧拉序 这两把利剑，它们能将树上难题转化为易于解决的区间问题，让我们的求解之路更加顺畅。

dfs序：树的深度优先遍历

dfs序是一种遍历树的有效方式，其工作原理类似于深度优先搜索算法。它从树的根节点出发，依次遍历其相邻节点，并按访问顺序对其进行编号。dfs序的编号具有以下特点：

• 唯一性： 每个节点在dfs序中都有唯一的编号。
• 父子关系： 父节点的编号一定小于其子节点的编号。
• 深度优先： 深度优先的遍历顺序反映了树的深度结构。

欧拉序：树的先序和后序遍历结合

欧拉序是一种巧妙的遍历方式，它将先序遍历和后序遍历巧妙地结合在一起。其过程如下：

• 先序： 从根节点出发，依次访问节点，每访问一个节点时，将其编号。
• 后序： 当访问一个节点的所有子节点后，再次访问该节点，并将其编号。

欧拉序的编号具有以下特点：

• 编号顺序： 先序编号和后序编号依次交替出现。
• 子树结构： 一个节点的子树的dfs序在欧拉序中是连续的一段。
• 深度关系： 深度越深的节点，其欧拉序编号越大。

dfs序和欧拉序的常用性质

掌握了dfs序和欧拉序的基本概念后，我们来了解一些它们的常用性质：

• 子树范围： 一个节点的子树的欧拉序编号范围为[first[i], last[i]]，其中first[i]为该节点的先序编号，last[i]为其后序编号。
• 祖先关系： 节点u是节点v的祖先当且仅当[first[u], last[u]]包含[first[v], last[v]]。
• lca查找： 在dfs序中，节点u和v的最近公共祖先（lca）的编号位于[first[u], first[v]]或[last[u], last[v]]中。

树上问题的区间之道

dfs序和欧拉序的真正威力在于将树上问题转化为区间问题。例如：

• 子树和： 在欧拉序中，一个节点的子树和为其子树区间内的所有值的和。
• 路径长度： 在dfs序中，节点u和v之间的路径长度为其dfs序编号之间的差值。
• lca查找： 如前所述，lca可以通过区间重叠来快速查找。

通过利用这些性质，我们可以巧妙地将原本复杂的树上问题转换为易于解决的区间问题，大幅简化了求解过程。

结语

dfs序和欧拉序是解决树上问题的两把利器，它们将树的复杂结构转化为区间问题的简洁形式。掌握这些技巧，可以极大地提升我们解决树上问题的效率和准确性。祝愿大家都能在树的探索之旅中收获颇丰！