从斯涅尔定律到 SIMD：探索光线折射的数学奥秘

2024-01-11 18:56:48

在浩瀚无垠的虚拟世界中，光线折射扮演着至关重要的角色，为 3D 场景赋予逼真感和深度。当光线遇到不同的介质时，折射现象应运而生，改变了光线的传播路径，创造出迷人的视觉效果。今天，我们将踏上数学之旅，探究光线折射的奥秘，从斯涅尔定律到 SIMD 框架，深入剖析这门激动人心的科学。

斯涅尔定律：折射之钥

光线折射的奥秘由斯涅尔定律揭示。该定律阐述了当光线从一种介质射入另一种介质时，其折射角与入射角之间的关系。更准确地说，定律指出：

折射率1 × sin(入射角) = 折射率2 × sin(折射角)

折射率是一个无量纲量，表示光在特定介质中的传播速度与真空中光速之比。斯涅尔定律表明，当光线从折射率较低的介质射入折射率较高的介质时，折射角将小于入射角；反之，当光线从折射率较高的介质射入折射率较低的介质时，折射角将大于入射角。

SIMD 框架：加速折射计算

在现代计算机图形学中，光线折射的计算被纳入了 SIMD（单指令多数据）框架，这是一种并行计算技术，可以同时处理多个数据元素。通过利用 SIMD 框架，我们可以显著提高光线折射计算的效率。

在 SIMD 框架中，光线折射的计算通常通过向量化来实现。这意味着我们将光线和介质属性表示为向量，并使用 SIMD 指令对这些向量执行数学运算。这样一来，我们可以同时计算多个光线的折射，极大地提高了计算速度。

示例代码：计算折射

为了更深入地理解光线折射的计算，让我们来看一个示例代码：

// 输入：
// ray.origin - 光线起点
// ray.direction - 光线方向
// normal - 命中点的法向量
// eta - 从入射介质到折射介质的折射率

// 计算光线在法线上的投影
float cos_theta_i = dot(ray.direction, normal);

// 计算斯涅尔定律中的正弦项
float sin_theta_i = sqrt(1.0 - cos_theta_i * cos_theta_i);
float sin_theta_t = sin_theta_i / eta;

// 计算折射角的余弦值
float cos_theta_t = sqrt(1.0 - sin_theta_t * sin_theta_t);

// 计算折射方向
Vector3f refraction_direction = ray.direction * cos_theta_i - normal * cos_theta_t;

// 返回折射方向
return refraction_direction;