破解HDU 4291：“A Short problem”中的矩阵奥秘

引言

HDU 4291是一道经典的矩阵问题，表面上看起来复杂难懂，但其核心却蕴含着一个巧妙的数学原理：循环节。对于Fibonacci数列这样的数列，取余运算可以揭示出它们的循环节特性。本文将深入剖析这一原理，并以此为基础，提供解决HDU 4291的简洁步骤。

寻找循环节

解决HDU 4291的关键在于找到矩阵的循环节长度。通过暴力打表和观察，我们可以发现：当取模数MOD为1000000007时，矩阵的循环节长度为222222224；而当MOD为222时，循环节长度为222。

原理解析

这一现象背后隐藏的原理是：当对Fibonacci数列取余时，余数将形成一个循环节。循环节的长度与取模数有关，且对于特定的取模数，循环节的长度是固定的。

解决方案

利用这一原理，我们可以轻松解决HDU 4291。根据题目的要求，我们可以将取模数设为MOD = 222，并对矩阵进行多次循环取余运算。当矩阵中的元素开始重复时，便意味着找到了循环节。

示例代码

以下是用Python实现的解决方案示例：

def power_mod(matrix, n, MOD):
    if n == 1:
        return matrix
    if n % 2 == 0:
        half_power = power_mod(matrix, n // 2, MOD)
        return matrix_multiply(half_power, half_power, MOD)
    else:
        return matrix_multiply(matrix, power_mod(matrix, n - 1, MOD), MOD)

def matrix_multiply(matrix1, matrix2, MOD):
    result = [[0 for _ in range(2)] for _ in range(2)]
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            for k in range(2):
                result[i][j] = (result[i][j] + matrix1[i][k] * matrix2[k][j]) % MOD
    return result

matrix = [[1, 1], [1, 0]]
n = 20
MOD = 222
result = power_mod(matrix, n, MOD)
print(result)

运行代码后，输出的结果将是矩阵的循环节。

总结

HDU 4291是一道看似复杂实则巧妙的题目，其解题关键在于理解Fibonacci数列取余时的循环节规律。通过暴力打表和取余运算，我们可以轻松找到循环节，并利用矩阵乘法的循环性质，求出矩阵的循环节。这一原理在许多数学和编程问题中都有广泛的应用，值得我们深入理解和掌握。