2D 矩阵：坐标变换背后的数学魔法

2D 矩阵：坐标变换的基石

想象一下在一个广阔的草原上，有一位迷失方向的旅行者。为了找到出路，他需要了解自己的位置并确定要前往的方向。这时，一张地图便派上了用场。这张地图可以将旅行者当前的位置转换成一个坐标系，从而帮助他了解自己在草原上的位置。

同样，在计算机图形学中，2D 矩阵也扮演着类似的地图角色。它将计算机屏幕上的每个像素位置转换为一个坐标系，以便我们可以控制和操作屏幕上的元素。

2D 矩阵的基础

2D 矩阵是一个由数字组成的 3x3 网格，如下所示：

| a | b | c |
| d | e | f |
| g | h | i |

这 9 个数字决定了矩阵的行为。前三个数字 (a, b, c) 定义了矩阵的平移，中间三个数字 (d, e, f) 定义了缩放，后三个数字 (g, h, i) 定义了旋转。

坐标变换

2D 矩阵最强大的功能之一是执行坐标变换。坐标变换是指将一个坐标系中的点转换为另一个坐标系中的点。

为了执行坐标变换，我们使用矩阵乘法。给定一个点 (x, y) 和一个 2D 矩阵，我们通过以下公式计算转换后的点 (x', y')：

[x'] = [x y 1] * [a b c]
[y']   [d e f]   [g h i]

这个公式的含义是，点 (x, y) 被转换为点 (x', y')，其中：

• x' = ax + by + c
• y' = dx + ey + f

旋转

2D 矩阵还可以用来旋转对象。旋转是一个围绕一个固定点的对象运动。旋转矩阵如下所示：

| cos(θ) -sin(θ) 0 |
| sin(θ) cos(θ) 0 |
| 0 0 1 |

其中 θ 是旋转角度。通过将这个矩阵应用到一个点上，我们可以旋转它 θ 度。

缩放

2D 矩阵也可以用来缩放对象。缩放是改变对象的大小。缩放矩阵如下所示：

| sx 0 0 |
| 0 sy 0 |
| 0 0 1 |

其中 sx 和 sy 是缩放因子。通过将这个矩阵应用到一个点上，我们可以将其缩放 sx 倍和 sy 倍。

平移

2D 矩阵还可以用来平移对象。平移是移动对象而不改变其大小或形状。平移矩阵如下所示：

| 1 0 tx |
| 0 1 ty |
| 0 0 1 |

其中 tx 和 ty 是平移距离。通过将这个矩阵应用到一个点上，我们可以将其移动 tx 像素和 ty 像素。

实际应用

2D 矩阵在计算机图形学中有广泛的应用，包括：

• 2D 和 3D 游戏和模拟中的对象变换
• 网页和应用程序中的动画
• 图像和视频编辑中的图像处理
• CAD 和计算机辅助设计 (CAD) 应用程序中的对象操作

结论

2D 矩阵是计算机图形学中一个强大的工具，用于控制和操作屏幕上的元素。它提供了一种将点从一个坐标系转换为另一个坐标系的灵活方法，从而使我们能够执行旋转、缩放和平移等复杂的变换。通过理解 2D 矩阵的基本原理，我们可以创建引人入胜的视觉效果并增强应用程序和网站的互动性。