融会贯通「数组嵌套」—— 索引数组的嵌套探索之旅

在处理数组相关问题时，我们经常会遇到一种名为「数组嵌套」的场景。简单来说，就是数组元素的值指向了数组的另一个索引，形成了一种链式结构。我们的目标通常是找到最长的嵌套链，或者理解这种嵌套结构的特性。

理解「数组嵌套」

想象一下，数组就像一个迷宫，每个元素都是一个房间，而元素的值则是指向下一个房间的门牌号。例如，nums[0] = 2 意味着从房间 0 可以走到房间 2。这样，我们就可以从一个房间出发，沿着门牌号不断前进，形成一条路径，这就是我们所说的嵌套链。

寻找最长嵌套链的策略

面对这样的迷宫，我们该如何找到最长的路径呢？一个直观的想法是，从每个房间出发，都走一遍，看看能走多远，最后比较一下就能找到最长的路径了。但是，这种方法效率不高，因为有些路径可能会重复走很多次。

为了避免重复，我们可以使用一个标记数组 visited，记录每个房间是否已经被访问过。当我们从一个房间出发，沿着路径前进时，就把沿途的房间都标记为已访问。这样，下次再遇到这些房间时，就知道它们已经在之前的路径中走过了，就不需要再走了。

代码实现

def array_nesting(nums):
  """
  寻找数组中最长嵌套链的长度

  参数:
    nums: 一个整数数组，元素的值都在 0 到 len(nums) - 1 之间

  返回值:
    最长嵌套链的长度
  """
  n = len(nums)
  visited = [False] * n  # 标记数组，初始时所有房间都未被访问
  max_length = 0  # 最长嵌套链的长度

  for i in range(n):
    if not visited[i]:  # 如果当前房间未被访问
      current_length = 0  # 当前路径的长度
      j = i  # 从当前房间出发
      while not visited[j]:  # 沿着路径前进，直到遇到已经访问过的房间
        visited[j] = True  # 标记当前房间为已访问
        j = nums[j]  # 前往下一个房间
        current_length += 1  # 路径长度加 1
      max_length = max(max_length, current_length)  # 更新最长嵌套链的长度

  return max_length

# 示例
nums = [5, 4, 0, 3, 1, 6, 2]
print(array_nesting(nums))  # 输出: 4

常见问题解答

1. 为什么需要标记数组 visited？

   • 标记数组 visited 的作用是避免重复访问同一个房间，提高算法效率。如果没有 visited，我们可能会在同一个环形路径上反复循环，导致程序无法结束。

2. 算法的时间复杂度是多少？

   • 算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是数组的长度。因为每个房间最多只会被访问一次。

3. 算法的空间复杂度是多少？

   • 算法的空间复杂度是 O(n)，因为需要一个长度为 n 的标记数组 visited。

4. 如何理解嵌套链的环形结构？

   • 嵌套链的环形结构是指，从一个房间出发，沿着路径前进，最终会回到起点。例如，在示例数组 [5, 4, 0, 3, 1, 6, 2] 中，从房间 0 出发，会依次经过房间 5、6、2，最终回到房间 0，形成一个环形路径。

5. 如何处理数组中存在多个环形嵌套链的情况？

   • 算法会自动处理这种情况。因为每次从一个未访问的房间出发，都会找到一个新的环形路径，或者走到一个已经访问过的房间，从而结束当前路径。最终，算法会找到所有环形路径中最长的一个。