借酒还酒的哲学——从换酒问题谈起

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2023-12-10 02:44:53

每天一道算法题，坚持不懈，终有一天你会成为算法高手。今天，我们来挑战换酒问题，这也是算法题每日一练的第 97 天。

借酒还酒的哲学

换酒问题源自一个古老的哲学故事，故事中，一位聪明的商人用有限的酒瓶资源，通过借酒还酒的方式，最终喝到了更多的酒。这个故事启发我们，在有限的资源下，如何通过智慧和策略，实现利益最大化。

数学建模

换酒问题可以用数学模型来

给定一个正整数 numBottles，表示你购入的酒瓶数量。
给定一个正整数 numExchange，表示你用 numExchange 个空酒瓶可以兑换一瓶新酒。
喝掉一瓶酒后，酒瓶就会变成空的。
你的目标是喝到最多的新酒。

递归解法

换酒问题可以用递归的方式来解决。假设你喝掉了 i 瓶酒，那么你就可以用 i * numExchange 个空酒瓶兑换 i 瓶新酒。同时，你还可以用这 i 瓶新酒继续兑换新酒，直到你没有足够的空酒瓶来兑换新酒为止。

def max_bottles(num_bottles, num_exchange):
  """
  计算喝到最多新酒的数量。

  参数：
    num_bottles：购入的酒瓶数量。
    num_exchange：用 num_exchange 个空酒瓶可以兑换一瓶新酒。

  返回：
    喝到最多新酒的数量。
  """

  if num_bottles <= 0:
    return 0

  # 喝掉一瓶酒，并用空酒瓶兑换新酒。
  new_bottles = num_bottles // num_exchange
  
  # 递归计算喝到最多新酒的数量。
  max_new_bottles = max_bottles(num_bottles - new_bottles, num_exchange)

  # 返回喝到最多新酒的数量。
  return new_bottles + max_new_bottles

动态规划解法

换酒问题也可以用动态规划的方式来解决。我们可以定义一个状态 dp[i]，表示喝掉 i 瓶酒后，喝到最多新酒的数量。

def max_bottles(num_bottles, num_exchange):
  """
  计算喝到最多新酒的数量。

  参数：
    num_bottles：购入的酒瓶数量。
    num_exchange：用 num_exchange 个空酒瓶可以兑换一瓶新酒。

  返回：
    喝到最多新酒的数量。
  """

  # 初始化状态 dp[i]。
  dp = [0] * (num_bottles + 1)

  # 逐个计算状态 dp[i]。
  for i in range(1, num_bottles + 1):
    # 喝掉一瓶酒，并用空酒瓶兑换新酒。
    new_bottles = i // num_exchange

    # 计算喝到最多新酒的数量。
    dp[i] = new_bottles + dp[i - new_bottles]

  # 返回喝到最多新酒的数量。
  return dp[num_bottles]