一笔小钱，算出大智慧——零钱兑换算法解读

零钱兑换算法概述

零钱兑换算法是一种经典的动态规划算法，它可以解决以下问题：

给定不同面额的硬币和一个总金额，计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

例如，给定面额为1元、2元和5元的硬币，以及总金额为11元，则可以凑成总金额的硬币组合有：

• 1元硬币11个
• 2元硬币5个，1元硬币1个
• 5元硬币2个，1元硬币1个
• 5元硬币1个，2元硬币1个，1元硬币4个

零钱兑换算法可以帮助我们快速找到最优解，即用最少的硬币凑成总金额。

零钱兑换算法原理

零钱兑换算法的原理是基于动态规划的思想。动态规划是一种将大问题分解成一系列小问题，然后逐个解决这些小问题，最终得到大问题的最优解。

在零钱兑换算法中，我们将总金额分解成一系列子问题，每个子问题都是计算给定总金额和面额的硬币，有多少种组合可以凑成这个子问题。例如，对于总金额为11元，我们可以分解成以下子问题：

• 计算总金额为1元的硬币组合数
• 计算总金额为2元的硬币组合数
• 计算总金额为3元的硬币组合数
• ...
• 计算总金额为11元的硬币组合数

通过逐个解决这些子问题，我们最终可以得到总金额为11元的硬币组合数的最优解。

零钱兑换算法实现

零钱兑换算法可以通过递归或动态规划两种方式实现。递归实现比较简单，但时间复杂度较高，为O(2^n)，其中n是总金额。动态规划实现的时间复杂度为O(n * m)，其中n是总金额，m是硬币的面额数。

下面给出零钱兑换算法的动态规划实现代码：

def coin_change(coins, amount):
    """
    计算给定总金额的硬币组合数

    Args:
        coins (list): 硬币面额列表
        amount (int): 总金额

    Returns:
        int: 硬币组合数
    """

    # 创建一个表格dp，dp[i]表示总金额为i的硬币组合数
    dp = [0] * (amount + 1)

    # 初始化dp[0]为1，因为总金额为0时只有一种组合，即不使用任何硬币
    dp[0] = 1

    # 对于每个硬币面额，从1到总金额，依次计算dp[i]
    for coin in coins:
        for i in range(coin, amount + 1):
            # 如果总金额大于等于硬币面额，则dp[i]等于dp[i - coin]和dp[i]的和
            dp[i] += dp[i - coin]

    # 返回总金额为amount的硬币组合数
    return dp[amount]


# 测试用例
coins = [1, 2, 5]
amount = 11
result = coin_change(coins, amount)
print(result)

零钱兑换算法应用

零钱兑换算法可以应用于各种场景，例如：

• 自动售货机找零
• 银行柜台找零
• 零钱兑换机找零
• 金融系统中的货币兑换
• 其他需要计算硬币组合数的场景

零钱兑换算法是一种非常实用的算法，它可以帮助我们快速找到最优解，并应用于各种实际场景中。