数据结构与算法 -- 图论的基础与进阶

闲谈

2023-12-14 16:24:46

图论：计算机科学的迷人世界

在计算机科学的广阔世界中，图论是一颗璀璨的明珠，连接着顶点和边构成的抽象网络，为我们理解和解决现实世界的问题提供了强有力的工具。从网络科学到数据科学，图论无处不在，其算法为我们的日常生活带来了难以想象的便利。

揭开图论的神秘面纱

什么是图？

想象一个网络，由一个个节点（顶点）组成，这些节点通过管道（边）相连。这就是图的本质，一个抽象的网络，它可以表示各种现实世界中的关系，从社交网络到交通系统。

图的表示

为了在计算机中表示图，我们需要一种方法来记录顶点和边之间的关系。有两种常见的方式：

邻接矩阵： 一个二维表格，其中每个元素表示两个顶点之间的边权重。
邻接表： 一个顶点列表，每个顶点都有一个指向其相邻顶点的指针列表。

探索图论算法

图论算法是一套强大且多样的工具，用于解决与图相关的问题。其中一些关键算法包括：

最短路径算法

想象你要在城市中找到从一个地方到另一个地方的最短路线。最短路径算法，如 Dijkstra 和 Floyd-Warshall，可以帮助你找到最有效的路径，无论图有多复杂。

代码示例：

# Dijkstra 算法
def dijkstra(graph, source):
    dist = [float('inf')] * len(graph)  # 初始化所有顶点的最短路径长度为无穷大
    dist[source] = 0  # 源顶点的最短路径长度为 0
    visited = [False] * len(graph)  # 初始化所有顶点为未访问
    while not all(visited):  # 当所有顶点都未访问时
        u = min(range(len(graph)), key=lambda x: dist[x] if not visited[x] else float('inf'))  # 找到未访问且最短路径长度最小的顶点
        visited[u] = True  # 标记顶点 u 为已访问
        for v in range(len(graph)):  # 遍历顶点 u 的所有相邻顶点
            if not visited[v] and dist[u] + graph[u][v] < dist[v]:  # 如果顶点 v 未访问且通过顶点 u 的路径比已知的路径更短
                dist[v] = dist[u] + graph[u][v]  # 更新顶点 v 的最短路径长度
    return dist  # 返回所有顶点的最短路径长度

最小生成树算法

你现在要为你的城市设计一个高效的道路网络，目标是在连接所有地区的同时尽量减少道路总长度。最小生成树算法，如 Prim 和 Kruskal，可以找到最优的道路布局。

代码示例：

# Prim 算法
def prim(graph):
    edges = []  # 初始化边集合
    visited = [False] * len(graph)  # 初始化所有顶点为未访问
    visited[0] = True  # 标记第一个顶点为已访问
    while not all(visited):  # 当所有顶点都未访问时
        min_edge = None  # 初始化最小权重的边
        for u in range(len(graph)):  # 遍历所有已访问的顶点
            if visited[u]:
                for v in range(len(graph)):  # 遍历顶点 u 的所有相邻顶点
                    if not visited[v] and (min_edge is None or graph[u][v] < min_edge[2]):  # 如果顶点 v 未访问且权重更小
                        min_edge = (u, v, graph[u][v])  # 更新最小权重的边
        if min_edge is not None:  # 如果找到最小权重的边
            edges.append(min_edge)  # 将边添加到边集合
            visited[min_edge[1]] = True  # 标记边 min_edge 的另一个端点为已访问
    return edges  # 返回最小生成树中的边集合