动态规划：“聪明” 地穷举答案，化繁为简

理解动态规划的精髓

许多初学者之所以难以理解动态规划，是因为他们试图记住过多的公式和模板，但却没有把握住动态规划的本质。事实上，动态规划的核心思想很简单：把复杂问题分解为更小、更易解决的子问题，然后以自底向上的方式逐步解决这些子问题，直到最终得到原问题的解。

举个例子，我们以最长公共子序列（LCS）问题为例。给定两个字符串，求出它们最长公共子序列的长度。LCS问题可以用暴力法求解，即枚举两个字符串的所有子序列，然后检查每个子序列是否是公共子序列。然而，这种方法的时间复杂度非常高，随着字符串长度的增加，时间消耗将呈指数级增长。

而动态规划的方法则巧妙地利用了 LCS问题的特点：最长公共子序列的长度可以通过其子问题的解来计算。具体来说，如果两个字符串的最长公共子序列的长度为 L，那么对于这两个字符串的任意一个前缀字符串，它们的最长公共子序列的长度一定小于或等于 L。

基于这一性质，我们可以使用一张二维表格来存储每个子问题的解。表中的每个单元格对应于两个字符串的两个前缀字符串，单元格中的值则表示这两个前缀字符串的最长公共子序列的长度。我们首先填满表格的第一行和第一列，因为这两个字符串的长度为 0 时的最长公共子序列长度显然为 0。然后，我们可以从表格的左上角开始，逐行逐列地填满表格，直到填满整个表格。在填满表格的过程中，我们可以利用已经计算出的子问题的解来计算当前子问题的解，从而大大降低了时间复杂度。

动态规划的广泛应用

动态规划算法被广泛应用于计算机科学的各个领域，包括：

• 最优子结构：最优子结构是指一个问题的最优解可以由其子问题的最优解组合而成。动态规划正是利用了这一性质，将复杂问题分解为更小、更易解决的子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到原问题的解。
• 记忆化：记忆化是指将已经计算过的子问题的解存储起来，以便以后遇到相同的子问题时直接使用已有的解。这种方法可以大大减少重复计算的次数，从而提高算法的效率。
• 最长公共子序列：最长公共子序列问题是动态规划算法的一个经典应用。给定两个字符串，求出它们最长公共子序列的长度。
• 背包问题：背包问题是指在一个背包容量有限的情况下，如何将一组物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大。
• 最大子数组和：最大子数组和问题是指在一个数组中，求出其最大子数组的和。
• 区间动态规划：区间动态规划是指将一个问题分解为多个区间，然后对每个区间进行动态规划。
• 最短路径：最短路径问题是指在给定一个图的情况下，求出从一个节点到另一个节点的最短路径。
• 树形动态规划：树形动态规划是指将一个问题分解为一个树形结构，然后对每个子树进行动态规划。

结语

动态规划是一种强大的算法技巧，可以用于求解各种复杂问题。通过将复杂问题分解为更小、更易解决的子问题，并利用子问题的解来计算当前子问题的解，动态规划算法可以大大降低时间复杂度，从而找到最优解。