动态规划：破解最长公共子序列

见解分享

2023-10-19 00:14:32

踏入算法世界：用动态规划求解最长公共子序列（LCS）

引言

在浩瀚的算法世界中，动态规划技术如同一把利剑，所向披靡。它以其庖丁解牛般的分解能力和逐层求解的巧妙思想著称。今天，我们将聚焦于最长公共子序列（LCS）问题，领略动态规划的非凡魅力。

LCS 的奥秘

与最长公共子串问题不同，LCS 要求子序列中的元素按照相同顺序排列，而无需连续出现。例如，对于序列 "abcde" 和 "abefd"，LCS 为 "abd"，而最长公共子串为 "ab"。

动态规划的魔力

动态规划的核心思想在于将复杂问题化繁为简，将其分解为一系列较小的子问题，再利用已解决的子问题的解逐层解决整个问题。对于 LCS 来说，我们可以将问题分解为：

找出两个序列的最后一个元素是否相同。
如果相同，则 LCS 的最后一个元素也是它。
如果不同，则递归地求解两个序列的前缀（删除最后一个元素）的 LCS。

Python 实现

为了加深理解，让我们编写一个 Python 函数来求解 LCS：

def LCS(seq1, seq2):
    len1 = len(seq1)
    len2 = len(seq2)
    # 创建动态规划表格
    table = [[0 for _ in range(len2 + 1)] for _ in range(len1 + 1)]
    
    # 填充表格
    for i in range(1, len1 + 1):
        for j in range(1, len2 + 1):
            if seq1[i - 1] == seq2[j - 1]:
                table[i][j] = table[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                table[i][j] = max(table[i][j - 1], table[i - 1][j])
    
    # 回溯构建 LCS
    lcs = ""
    i = len1
    j = len2
    while i > 0 and j > 0:
        if seq1[i - 1] == seq2[j - 1]:
            lcs = seq1[i - 1] + lcs
            i -= 1
            j -= 1
        else:
            if table[i][j - 1] > table[i - 1][j]:
                j -= 1
            else:
                i -= 1
    
    return lcs