精解快速幂算法：复杂度从 O(n) 到 O(log n) 的华丽蜕变

序言

在计算机科学的浩瀚海洋中，算法犹如璀璨的明珠，指引着我们高效解决纷繁复杂的问题。而快速幂算法，正是算法家族中一颗耀眼的明星，以其简洁的实现和惊人的效率著称。它能够将指数运算的时间复杂度从 O(n) 惊人地降低到 O(log n)，为我们的代码运行提速。

快速幂算法的本质

快速幂算法基于这样一个简单的数学原理：任何非负整数的幂都可以分解为若干个 2 的幂的乘积。例如，125 = 5^3 = 5^(2^2 + 2^0) = 5^4 * 5^1。

基于这一原理，快速幂算法采用递归的方式将指数不断分解，从而降低时间复杂度。具体步骤如下：

1. 基线条件： 若指数为 0，则直接返回 1。
2. 递归分解： 若指数为奇数，则将指数减 1，并将底数平方；若指数为偶数，则将指数除以 2，并将底数平方。
3. 递归调用： 递归调用算法，对分解后的指数和底数进行计算。
4. 结果相乘： 将递归调用得到的两个结果相乘，得到最终结果。

代码实现

def fast_power(base, exponent):
  if exponent == 0:
    return 1

  if exponent % 2 == 1:
    return base * fast_power(base, exponent - 1)

  half_power = fast_power(base, exponent // 2)
  return half_power * half_power

示例

假设我们希望计算 5 的 125 次方。使用快速幂算法，我们可以将其分解如下：

5^125 = 5^(2^6 + 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0)
= 5^64 * 5^32 * 5^8 * 5^2 * 5^1
= (5^8)^8 * (5^8)^4 * 5^8 * 5^2 * 5^1
= (5^64)^2 * (5^8)^4 * 5^8 * 5^2 * 5^1
= (5^128)^2 * (5^8)^4 * 5^8 * 5^2 * 5^1

然后，我们可以递归地计算每个 2 的幂的次方，并将其相乘，得到最终结果：

5^125 = 5^128 * 5^8 * 5^2 * 5^1
= (5^64)^2 * (5^8)^4 * 5^8 * 5^2 * 5^1
= 12581490792747866822648266023885559586785049885752011173623903125

应用场景

快速幂算法广泛应用于以下场景：

• 计算大数的模幂（例如 RSA 加密算法）
• 解决递归问题（例如快速排序）
• 计算复数的幂次（例如 DFT 算法）
• 密码学算法（例如 Diffie-Hellman 密钥交换）

结语

快速幂算法是一种优雅而高效的算法，极大地提升了我们计算指数运算的能力。它将时间复杂度从 O(n) 降低到 O(log n)，让我们能够处理之前难以企及的大规模计算。无论是数学爱好者还是程序员，快速幂算法都是一个必不可少的工具，值得我们深入理解和掌握。