精辟解析：动态规划的艺术：凑零钱问题巧解

2023-11-09 04:55:57

动态规划：解决复杂问题的利器

什么是动态规划？

动态规划是一种强大的算法技术，它通过将大问题分解成一系列小问题，并巧妙地利用这些小问题的解决方案来逐步解决大问题，从而高效地解决复杂问题。这种方法以其通用性和高效性而著称，在计算机科学领域有着广泛的应用。

「凑零钱」问题：一个动态规划范例

「凑零钱」问题是一个经典的动态规划问题，它要求我们给定一定数量的硬币和一个目标金额，找出使用最少硬币凑出该金额的所有方法。例如，如果我们有硬币面值为1元、5元和10元，并且目标金额为11元，那么凑零钱的方法有两种：一种是用10元和1元硬币，另一种是用5元和6个1元硬币。

运用动态规划解决「凑零钱」问题

要解决「凑零钱」问题，我们可以将其分解成一系列子问题：

给定一定数量的硬币和一个目标金额，找出使用最少硬币凑出该金额的所有方法。
给定一定数量的硬币和一个目标金额，找出使用最少硬币凑出该金额的一种方法。

子问题1：找出所有凑零钱的方法

我们可以使用动态规划的基本原理，将目标金额分解成一系列更小的金额，并分别找出使用最少硬币凑出这些金额的所有方法。然后，我们将这些子问题的最优解组合起来，得到凑出目标金额的最优解。

子问题2：找出一种凑零钱的方法

我们可以使用贪心算法来解决这个问题，贪心算法是一种启发式算法，它总是做出当前看来最优的选择，而不考虑未来的影响。在「凑零钱」问题中，贪心算法可以从硬币面值最大的硬币开始，依次递减，直到凑出目标金额。

动态规划与贪心算法的比较

动态规划可以找到所有凑出目标金额的方法，而贪心算法可以找到一种凑出目标金额的方法。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的算法。

代码示例

以下是使用动态规划解决「凑零钱」问题的 Python 代码示例：

def count_change(coins, target):
  """
  找出使用最少硬币凑出目标金额的所有方法。

  参数：
    coins：硬币面值列表
    target：目标金额

  返回：
    最少硬币数
  """

  dp = [float('inf') for _ in range(target + 1)]
  dp[0] = 0

  for i in range(1, target + 1):
    for coin in coins:
      if i - coin >= 0:
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

  return dp[target] if dp[target] != float('inf') else -1

def find_change(coins, target):
  """
  找出使用最少硬币凑出目标金额的一种方法。

  参数：
    coins：硬币面值列表
    target：目标金额

  返回：
    使用最少硬币凑出目标金额的一种方法（硬币面值列表）
  """

  result = []

  while target > 0:
    for coin in coins:
      if target - coin >= 0:
        target -= coin
        result.append(coin)
        break

  return result

if __name__ == "__main__":
  coins = [1, 5, 10]
  target = 11

  num_ways = count_change(coins, target)
  print(f"使用最少硬币凑出目标金额的所有方法数：{num_ways}")

  change = find_change(coins, target)
  print(f"使用最少硬币凑出目标金额的一种方法：{change}")