探索数字的神奇组合：挖掘LeetCode 40的组合总和II

前端

2023-10-30 20:04:01

算法场景漫谈

在日常生活中，我们经常会遇到一些组合类的问题，例如：

从一堆硬币中选出一些硬币，使其面值总和等于某个特定的金额。
从一组数字中选出一些数字，使其和等于某个特定的目标值。
从一组字符串中选出一些字符串，使其连接起来的总长度等于某个特定的长度。

这些问题都属于组合问题，而LeetCode 40的组合总和II问题正是这类问题的一个典型代表。

LeetCode 40 题意解析

题目

给定一个由候选数字组成的数组candidates和一个目标数字target，找出candidates中所有可以使数字和为target的组合。

candidates中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

注意：同一个数字在组合中可以多次出现。

示例

输入：candidates = [10, 1, 2, 7, 6, 1, 5], target = 8

输出：[[1, 1, 6], [1, 2, 5], [1, 7], [2, 6]]

解决方案剖析

动态规划

动态规划是一种解决优化问题的经典方法，它通过将问题分解成更小的子问题，然后逐步求解这些子问题，最终得到问题的整体解。

在LeetCode 40中，我们可以将问题分解成以下子问题：

如何从candidates中选出一些数字，使其和等于target？
如何从candidates中选出一些数字，使其和等于target-candidates[i]？

其中，candidates[i]表示candidates数组中的第i个数字。

对于第一个子问题，我们可以使用动态规划的方法求解。首先，我们定义一个dp数组，其中dp[i]表示从candidates中选出一些数字，使其和等于i的组合数。然后，我们可以使用以下递推公式计算dp数组：

dp[i] = dp[i - candidates[0]] + dp[i - candidates[1]] + ... + dp[i - candidates[n-1]]

其中，n表示candidates数组的长度。

对于第二个子问题，我们可以使用类似的方法求解。首先，我们定义一个dp数组，其中dp[i][j]表示从candidates中选出一些数字，使其和等于i，且这些数字中不包含candidates[j]的组合数。然后，我们可以使用以下递推公式计算dp数组：

dp[i][j] = dp[i - candidates[0]][j] + dp[i - candidates[1]][j] + ... + dp[i - candidates[j-1]][j] + dp[i - candidates[j+1]][j] + ... + dp[i - candidates[n-1]][j]

其中，n表示candidates数组的长度。

一旦我们计算出dp数组，我们就可以通过以下步骤找到所有满足题目要求的组合：

从candidates数组中选出第一个数字candidates[0]。
从candidates数组中选出一些数字，使其和等于target-candidates[0]。
将选出的数字与candidates[0]组合起来，形成一个组合。
重复步骤1-3，直到找到所有满足题目要求的组合。

回溯法

回溯法是一种解决组合问题的经典方法，它通过系统地枚举所有可能的解，然后逐一检查这些解是否满足题目要求，最终找到所有满足题目要求的解。

在LeetCode 40中，我们可以使用回溯法求解。首先，我们定义一个回溯函数，该函数接收以下参数：

candidates：候选数字数组
target：目标数字
result：保存满足题目要求的组合的列表

然后，我们可以使用以下步骤实现回溯函数：

如果target为0，则将当前组合添加到result列表中。
否则，对于candidates数组中的每个数字candidates[i]，执行以下步骤：
- 将candidates[i]添加到当前组合中。
- 将target减去candidates[i]。
- 调用回溯函数，将candidates[i+1:]、target和result作为参数传递给它。
- 将candidates[i]从当前组合中删除。
- 将target加上candidates[i]。

一旦我们实现回溯函数，我们就可以通过以下步骤找到所有满足题目要求的组合：