突破局限：LeetCode 53.MaximumSubarray 三种解法，总有一种适合你！

2024-02-13 00:22:03

前言

欢迎来到 LeetCode 53：Maximum Subarray 算法探索之旅！在本文中，我们将共同学习并掌握三种不同的解法，包括动态规划、贪心算法和分治算法。这些算法各有千秋，适用于不同的场景和问题。通过对这些算法的深入理解和应用，你将能够有效解决各种最大连续子数组和问题，并提升你的算法技能。

一、动态规划：从子问题到全局最优解

动态规划是一种自底向上的算法设计范式，它将问题分解成一系列子问题，然后从子问题的最优解逐步推导出全局的最优解。在解决 LeetCode 53 问题时，我们可以将子问题定义为：

dp[i]：以第 i 个元素结尾的连续子数组的最大和

根据这个定义，我们可以得到如下状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

这意味着，以第 i 个元素结尾的连续子数组的最大和，要么是它前面的子数组的最大和加上当前元素的值，要么是当前元素本身的值。

通过不断地计算子问题的最优解，我们可以最终得到以最后一个元素结尾的连续子数组的最大和，即问题的全局最优解。

二、贪心算法：快速找到局部最优解

贪心算法是一种自顶向下的算法设计范式，它在每次决策时，都做出局部最优的选择，并希望这些局部最优决策能够最终汇聚成全局最优解。在解决 LeetCode 53 问题时，我们可以使用贪心算法来找到局部最优解：

max_so_far = 0
max_ending_here = 0

for i in range(len(nums)):
    max_ending_here = max_ending_here + nums[i]
    if max_so_far < max_ending_here:
        max_so_far = max_ending_here
    if max_ending_here < 0:
        max_ending_here = 0

在这个算法中，max_so_far 记录了迄今为止的最大连续子数组和，而 max_ending_here 记录了以当前元素结尾的最大连续子数组和。如果 max_ending_here 小于 0，则表明当前元素无法继续增加连续子数组和，因此需要将其重置为 0。

三、分治算法：巧妙分解问题

分治算法是一种将问题分解成多个子问题的算法设计范式，然后分别解决这些子问题，最后将子问题的解组合成全局的解。在解决 LeetCode 53 问题时，我们可以使用分治算法来分解问题：

def max_subarray(nums):
    if len(nums) == 1:
        return nums[0]
    mid = len(nums) // 2
    left_max = max_subarray(nums[:mid])
    right_max = max_subarray(nums[mid:])
    cross_max = max_cross_subarray(nums, 0, len(nums) - 1)
    return max(left_max, right_max, cross_max)

def max_cross_subarray(nums, low, high):
    if low == high:
        return nums[low]
    mid = (low + high) // 2
    left_max = max_cross_subarray(nums, low, mid)
    right_max = max_cross_subarray(nums, mid + 1, high)
    max_left = nums[mid]
    sum = 0
    for i in range(mid, low - 1, -1):
        sum += nums[i]
        if sum > max_left:
            max_left = sum
    max_right = nums[mid + 1]
    sum = 0
    for i in range(mid + 2, high + 1):
        sum += nums[i]
        if sum > max_right:
            max_right = sum
    return max(left_max, right_max, max_left + max_right)