二叉树上的删点问题：穿越重重障碍，探索最优解的奥秘

后端

2023-10-28 19:37:26

探索二叉树与删点的奥秘

进入正题之前，让我们先了解二叉树和删点这两个基本概念：

二叉树：

二叉树是一种特殊的树形结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树的特点是，每个节点的值都大于或小于其左子节点的值，而每个节点的值都小于或大于其右子节点的值。

删点：

删点是指从二叉树中删除一个节点，同时保持二叉树的性质不变。
删点操作可以改变二叉树的结构，从而影响二叉树的性质和相关问题。

问题概述：二叉树上的删点

有了这些基本知识，我们就可以更深入地探讨二叉树上的删点问题了。

给定一棵二叉树和一个目标值，要求找出从根节点出发，经过一系列删点操作，最终能够得到一个二叉搜索树，使得二叉搜索树中所有节点的值都小于或等于目标值。

请注意，删点操作只能应用于目标值的右子节点，并且每次删点操作只能删掉一个节点。

算法求解：树状数组与动态规划的完美结合

为了解决这个有趣的问题，我们可以巧妙地结合树状数组和动态规划两种算法。

树状数组

树状数组是一种高效的数据结构，可以支持区间查询和区间更新。

对于二叉树的删点问题，我们可以将二叉树的节点值存储在树状数组中。

动态规划

动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，它将问题分解成子问题，逐个解决子问题，最终得到整个问题的解。

对于二叉树的删点问题，我们可以使用动态规划的方法来求解。

我们定义状态dp[i]为从节点i出发，经过一系列删点操作，最终能够得到一个二叉搜索树，使得二叉搜索树中所有节点的值都小于或等于目标值的最小删点次数。

则状态转移方程为：

dp[i] = min(dp[leftChild], dp[rightChild]) + 1

其中，leftChild和rightChild分别为节点i的左子节点和右子节点。

代码实现：清晰简洁，一步步攻克难题

基于上述算法，我们可以给出代码实现：

def min_删点(root, target):
    """
    求解二叉树上的删点问题

    参数：
    root：二叉树的根节点
    target：目标值

    返回：
    从根节点出发，经过一系列删点操作，最终能够得到一个二叉搜索树，使得二叉搜索树中所有节点的值都小于或等于目标值的最小删点次数
    """
    # 构建树状数组
    tree_array = FenwickTree(n)
    
    # 初始化状态数组
    dp = [0] * (n + 1)
    
    # 计算状态转移方程
    for i in range(1, n + 1):
        leftChild = i * 2
        rightChild = i * 2 + 1
        dp[i] = min(dp[leftChild], dp[rightChild]) + 1
    
    # 返回结果
    return dp[root]


class FenwickTree:
    """
    树状数组类
    """
    def __init__(self, n):
        self.tree = [0] * (n + 1)
    
    def update(self, i, value):
        """
        更新树状数组的第i个元素
        """
        while i <= len(self.tree):
            self.tree[i] += value
            i += i & (-i)
    
    def query(self, i):
        """
        查询树状数组前i个元素的和
        """
        sum = 0
        while i > 0:
            sum += self.tree[i]
            i -= i & (-i)
        return sum