793. 阶乘函数后 K 个零：探索数学与二分法的奥秘

在浩瀚的数学与算法领域，793. 阶乘函数后 K 个零犹如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧与灵动的光辉。它巧妙地将数学知识与二分法算法融为一体，成为程序设计中一道经典的难题。

**数学之美，尽在阶乘之中** 

阶乘，一个看似简单的运算，却蕴含着无穷的奥秘。当我们不断计算一个整数的阶乘时，我们会发现一个有趣的现象：尾随的零会越来越多。例如，10 的阶乘是 3628800，其中尾随的零有 2 个；100 的阶乘是 933262154439441525423339880720526555210399294682690820957066342450251336278545001428643091920180627566939781394516206974511952063162848807095858715500730064244044717336136799849600685604276719850684089867506383332791796856696615787529111940912249341032389687277213290430815149942784588396720960000000000000000000，其中尾随的零有 24 个。

这种尾随零的现象并非巧合，而是有着深刻的数学原理。当我们计算一个整数的阶乘时，本质上就是在计算这个整数的所有约数的乘积。而尾随的零的数量与这个整数中 5 和 2 的个数密切相关。例如，100 的阶乘中有 24 个尾随的零，这是因为 100 的阶乘中有 24 个 5 的因子和 12 个 2 的因子。

**二分法之妙，化繁为简** 

既然我们已经了解了阶乘函数后尾随零的规律，那么如何快速找到一个整数的阶乘函数后第 K 个尾随零的位置呢？这里，二分法算法闪亮登场。

二分法算法是一种高效的搜索算法，它通过不断将搜索范围二等分的方式来快速找到目标元素。在阶乘函数后尾随零的问题中，我们可以将搜索范围定义为 [1, n!]，其中 n 是给定的整数。然后，我们可以通过不断将搜索范围二等分的方式来找到第 K 个尾随零的位置。

具体来说，我们可以先计算出 n! 的尾随零的总数。然后，我们可以将搜索范围二等分，并计算出搜索范围中尾随零的总数。如果搜索范围中尾随零的总数大于或等于 K，那么第 K 个尾随零的位置一定在搜索范围中。否则，第 K 个尾随零的位置一定不在搜索范围中。

通过不断重复上述过程，我们可以快速找到第 K 个尾随零的位置。二分法算法的时间复杂度为 O(log n)，这使得它成为解决阶乘函数后尾随零问题的理想选择。

**阶乘函数后 K 个零：数学与算法的完美结合** 

793. 阶乘函数后 K 个零是一道经典的算法难题，它巧妙地将数学知识与二分法算法融为一体。这道难题不仅考验了程序员的数学功底，也考验了他们对算法的理解和应用能力。通过对这道难题的学习，我们可以深入理解数学与算法的奥秘，并提高自己的编程能力。

在学习这道难题时，我们可以先从理解阶乘函数后尾随零的规律入手。然后，我们可以学习二分法算法的原理和应用。最后，我们可以将两种知识结合起来，解决这道难题。相信通过努力学习，你一定能够掌握这道难题的解法，并从中获得启发，在未来的编程实践中取得更大的成就。