揭秘动态规划高手进阶秘籍：轻松连克两题，掌握移动下标的精髓

一、踏上征程：动态规划初探

动态规划（Dynamic Programming）是一种经典的算法设计范式，它以自底向上的思想，通过逐层递推的方式，逐步求解复杂问题。

动态规划算法的关键在于寻找问题的最优子结构，即将复杂的问题分解成若干个相互关联的子问题，然后将子问题的最优解作为基础，递推求解整个问题的最优解。

二、勇攀高峰：两题精讲

1. 题目63：Unique Paths II

给定一个矩阵，其中某些方格包含障碍物（用'1'表示），其余方格都可通行（用'0'表示）。求从矩阵的左上角移动到右下角的唯一路径数目。

在讲解这道题之前，我们先来看一看题目的本质。我们只需要关心那些可通行的方格，因为我们只能在这些方格内移动。因此，我们可以将矩阵中所有障碍物方格变为不可通过的方格，然后求出从矩阵的左上角移动到右下角的唯一路径数目。

这就是我们所要解决的问题。那么，如何求解呢？我们可以使用动态规划算法。首先，我们需要定义一个动态规划数组dp，其中dp[i][j]表示从左上角移动到第i行第j列的唯一路径数目。

然后，我们就可以按照以下步骤求解：

1. 初始化：

   • 将dp[0][0]设为1，因为从左上角只能移动到右上角，因此路径数目为1。
   • 将dp[i][0]和dp[0][j]均设为0，因为从第i行到第0列或从第0行到第j列只能通过障碍物方格，因此路径数目为0。

2. 递推：

   • 对于其余方格，可以使用下面的递推关系求解：

     dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

     这个递推关系的含义是，从左上角移动到第i行第j列的唯一路径数目等于从左上角移动到第i-1行第j列的唯一路径数目加上从左上角移动到第i行第j-1列的唯一路径数目。

3. 结果：

   • 最终，dp[m][n]就是从左上角移动到右下角的唯一路径数目。

4. 题目64：Minimum Path Sum

给定一个矩阵，其中每个方格包含一个非负整数，求从矩阵的左上角移动到右下角的最小路径和。

这道题与题目63非常相似，但是目标发生了变化。我们要求的是从左上角移动到右下角的最小路径和。

解决这道题，我们可以继续使用动态规划算法。但是，我们需要对dp数组进行一些修改。

三、移动下标的小技巧

在动态规划算法中，我们经常需要使用下标来访问数组元素。如果数组比较大，下标的移动很容易出错。为了避免这种情况，我们可以使用一些小技巧来移动下标。

例如，我们可以使用以下方式移动下标：

1. 使用增量

   我们可以使用增量来移动下标。例如，我们可以使用++和--来分别增加和减少下标的值。

2. 使用乘法

   我们可以使用乘法来移动下标。例如，我们可以使用*2和/2来分别将下标值翻倍和减半。

3. 使用模运算

   我们可以使用模运算来移动下标。例如，我们可以使用%来取下标值的余数。

使用这些小技巧，我们可以更加轻松地移动下标，从而减少出错的几率。

四、结语

动态规划算法是一种强大的算法设计范式，它可以解决许多复杂的问题。通过学习这两题，我们不仅掌握了动态规划算法的基本思想和技巧，还学会了移动下标的小技巧。希望这些知识能够对您有所帮助，让您在解决动态规划问题时更加游刃有余。