区间 DP：理解状态转移中的潜在陷阱

2023-09-22 03:25:08

引言

区间 DP 是一种强大的动态规划技术，用于解决涉及区间问题的优化问题。然而，理解状态转移方程对于成功应用区间 DP 至关重要。在这篇文章中，我们将通过 leetcode 每日好题 3.3.3 讨论区间 DP 中状态转移方程的常见陷阱，并提出避免这些陷阱的策略。

每日好题 3.3.3

leetcode 每日好题 3.3.3 要求我们计算将一组气球戳破所需的最小硬币数。气球由一个数组表示，其中每个元素代表一个气球的颜色。戳破一个气球需要消耗与该气球颜色相同的硬币。当一个气球被戳破时，它相邻的两个气球的颜色会合并。

陷阱：气球戳破后的处理

一个常见的陷阱是假设气球戳破后会继续存在。然而，在每日好题 3.3.3 中，气球被戳破后就不复存在了。这意味着在计算状态转移方程时，我们必须考虑戳破后气球消失的情况。

改进的状态转移方程

考虑一个区间 [i, j]，其中 i 和 j 是区间内的两个气球索引。设 f[i, j] 为戳破区间 [i, j] 内所有气球所需的最小硬币数。那么，状态转移方程可以表示为：

f[i, j] = min(f[i, k] + f[k + 1, j] + cost[i, j])

其中：

cost[i, j] 是戳破区间 [i, j] 内所有气球所需的硬币数。
k 是区间 [i, j] 内的任意分割点。

与传统区间 DP 中的状态转移方程不同，这个方程考虑了戳破气球后气球消失的情况。cost[i, j] 的计算方式如下：

cost[i, j] = if(arr[i] == arr[j]) 0 else c[arr[i]] + c[arr[j]]

其中：

arr 是气球颜色的数组。
c[x] 是戳破颜色为 x 的气球所需的硬币数。

代码示例

使用改进后的状态转移方程，我们可以用 C++ 编写以下代码来解决 leetcode 每日好题 3.3.3：

int minCost(vector<int>& arr, int c[]) {
  int n = arr.size();
  int f[n + 1][n + 1];
  memset(f, 0x3f, sizeof(f));
  for (int len = 1; len <= n; len++) {
    for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {
      int j = i + len - 1;
      f[i][j] = cost[i][j];
      for (int k = i; k < j; k++) {
        f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + cost[i][j]);
      }
    }
  }
  return f[0][n - 1];
}