房子的色彩王国：探索粉刷房子的艺术
2023-11-01 18:03:58
优化粉刷策略：运用动态规划粉刷你的房屋
粉刷房屋不仅能让你的家焕然一新，更能让你节省金钱和时间。使用数学技巧和算法，你可以制定最优粉刷策略，以最低成本和时间美化你的居所。
剑指 Offer II：粉刷房子的挑战
LeetCode 上的剑指 Offer II 091. 粉刷房子是一道中等难度的题目，它考验着你的状态机 DP 和动态规划能力。你需要粉刷一排房子，每个房子可以刷成红色、蓝色或绿色，而每种颜色的成本各不相同。你的目标是找到一种方法，用最少的成本粉刷所有房子。
动态规划：逐步走向最优解
动态规划是一种解决优化问题的有效方法。它通过将问题分解成更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。
在本例中，我们可以将问题分解成每个房子的最优粉刷方案。我们定义一个状态 dp[i][j]，表示前 i 个房子，最后一个房子被粉刷成颜色 j 的最小成本。
然后，我们可以使用状态转移方程来计算每个状态：
dp[i][j] = min(dp[i-1][0] + cost[i][j], dp[i-1][1] + cost[i][j], dp[i-1][2] + cost[i][j])
其中，cost[i][j] 表示粉刷第 i 个房子成颜色 j 的成本。
代码示例：Python
def min_cost(costs):
n = len(costs)
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
dp[i][0] = min(dp[i-1][1] + costs[i-1][0], dp[i-1][2] + costs[i-1][0])
dp[i][1] = min(dp[i-1][0] + costs[i-1][1], dp[i-1][2] + costs[i-1][1])
dp[i][2] = min(dp[i-1][0] + costs[i-1][2], dp[i-1][1] + costs[i-1][2])
return min(dp[n][0], dp[n][1], dp[n][2])
优化决策：找到最优粉刷方案
使用动态规划，我们可以逐步计算出每个房子的最优粉刷方案，并最终得到整个房屋的最小粉刷成本。这让我们能够做出最优决策，以最低的成本粉刷所有房子。
数学技巧：状态转移方程
状态转移方程是动态规划算法的核心。它定义了如何从一个状态转移到另一个状态，并计算出新状态的最小成本。在本例中，状态转移方程帮助我们计算了粉刷每个房子的最小成本，并考虑了所有可能的颜色组合。
算法：动态规划
动态规划算法是一种自底向上的算法，它通过逐步求解子问题，最终得到整个问题的最优解。在粉刷房子的问题中，我们使用动态规划算法来求解每个房子的最优粉刷方案，然后逐步求解这些子问题，最终得到整个房屋的最小粉刷成本。
常见问题解答
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什么是动态规划？
动态规划是一种解决优化问题的数学方法，它通过将问题分解成更小的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到整个问题的最优解。 -
如何使用动态规划解决粉刷房子的问题？
我们可以将问题分解成每个房子的最优粉刷方案，然后使用状态转移方程逐步求解这些子问题，最终得到整个房屋的最小粉刷成本。 -
状态转移方程是什么？
状态转移方程定义了如何从一个状态转移到另一个状态，并计算出新状态的最小成本。在本例中，状态转移方程帮助我们计算了粉刷每个房子的最小成本，并考虑了所有可能的颜色组合。 -
什么是自底向上算法？
自底向上算法是一种算法，它从问题的小规模实例开始，逐步求解更大的实例，最终解决整个问题。在本例中，我们从粉刷一个房子开始，逐步求解粉刷更多房子的最小成本，最终得到整个房屋的最小粉刷成本。 -
如何优化粉刷策略？
使用动态规划，我们可以计算出每个房子的最优粉刷方案，并最终得到整个房屋的最小粉刷成本。这让我们能够做出最优决策，以最低的成本粉刷所有房子。
