精解 532. 数组中的 k-diff 数对：数学原理与高效算法

2023-11-16 21:14:27

理解数组中的 k-diff 数对：深入解析

摘要：

深入了解 532. 数组中的 k-diff 数对问题，揭示其背后的数学原理和高效解决方法，提升您的算法技能。本文将指导您理解数组中 k-diff 数对的本质，并提供一个基于二分查找的高效算法，帮助您解决此类问题。

k-diff 数对：数学基础

k-diff 数对是指数组中相差 k 的两个元素构成的数对，可以用以下数学等式表示：

nums[j] = nums[i] + k 或 nums[j] = nums[i] - k

从这个等式中，我们可以推导出两个关键结论：

配对关系： 对于数组中的元素 nums[i]，它可以与 nums[i] + k 或 nums[i] - k 匹配。
对称性： 如果 (nums[i], nums[j]) 是一个 k-diff 数对，那么 (nums[j], nums[i]) 也是一个 k-diff 数对。

高效算法：二分查找的妙用

基于这些数学原理，我们可以设计一个高效的算法来求解 532. 数组中的 k-diff 数对问题：

排序数组： 将数组 nums 排序，以方便后续的查找操作。
枚举数组元素： 遍历排序后的数组，逐个枚举每个元素 nums[i]。
二分查找： 对于每个 nums[i]，分别使用二分查找在数组中查找 nums[i] + k 和 nums[i] - k。
计数对称数对： 由于对称性，在计算数对时，只需要统计 nums[i] + k 和 nums[i] - k 中的一个即可。
更新结果： 如果找到配对元素，则更新 k-diff 数对的计数。

Python 代码示例：

def findPairs(nums, k):
    # 排序数组
    nums.sort()

    count = 0

    # 遍历数组元素
    for i in range(len(nums)):
        # 对于每个元素，使用二分查找查找配对元素
        l = bisect.bisect_left(nums, nums[i] + k)
        r = bisect.bisect_right(nums, nums[i] - k)

        # 如果找到配对元素，则更新计数
        if l < len(nums) and nums[l] == nums[i] + k:
            count += 1
        if r > 0 and nums[r - 1] == nums[i] - k:
            count += 1

    return count

常见问题解答：

为什么需要排序数组？
排序数组可以加快二分查找过程，从而提高算法效率。
二分查找如何查找配对元素？
二分查找是一种高效的搜索算法，它通过不断将搜索范围缩小一半来查找目标元素。在我们的算法中，它用于查找 nums[i] + k 和 nums[i] - k。
为什么只统计对称数对中的一个？
由于对称性，如果 (nums[i], nums[j]) 是一个 k-diff 数对，那么 (nums[j], nums[i]) 也是一个 k-diff 数对。因此，我们只需要统计其中一个即可。
算法的时间复杂度是多少？
算法的时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是数组 nums 的长度。
算法可以在哪些情况下使用？
该算法适用于寻找数组中满足特定条件的元素对的场景，例如 k-diff 数对问题。