好数组的定义和特点

2023-10-30 06:02:33

我们先来明确一下好数组的定义和特点，以便我们后续的探讨更加有的放矢。一个数组被称为好数组，当且仅当满足以下两个条件：

数组长度大于 1。
数组中所有元素都为正整数。

简单来说，一个好数组就是一个长度至少为 2、元素全是正整数的数组。

进一步地，我们考虑好数组的子集。一个数组的子集是指从原数组中选取部分元素组成的新数组，并且新数组中元素的顺序与原数组中相同。对于一个好数组的子集来说，它必须满足以下条件：

子集长度大于 1。
子集中所有元素都为正整数。

现在，我们面临的一个重要问题是如何计算一个好数组的好子集数量。这里提供一个分治算法，它可以高效地解决这个问题：

def count_good_subsets(arr):
  """
  计算一个好数组的好子集数量。

  参数：
    arr: 输入的好数组。

  返回：
    好子集的数量。
  """

  # 分治终止条件：数组长度为 0 或 1。
  if len(arr) <= 1:
    return 0

  # 分治第一步：将数组分成左右两部分。
  mid = len(arr) // 2
  left = arr[:mid]
  right = arr[mid:]

  # 分治第二步：递归计算左右两部分的好子集数量。
  left_count = count_good_subsets(left)
  right_count = count_good_subsets(right)

  # 分治第三步：计算跨越左右两部分的好子集数量。
  cross_count = 0
  for i in range(len(left)):
    for j in range(len(right)):
      if left[i] < right[j]:
        cross_count += 1

  # 返回左右两部分好子集数量和跨越左右两部分的好子集数量之和。
  return left_count + right_count + cross_count