5分钟，从头到尾搞懂B样条曲线与Nurbs曲线！

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2023-09-08 01:43:22

B样条和Nurbs曲线：曲线的强大工具

探索计算机图形学中的灵活性与控制力

在计算机图形学的浩瀚世界中，曲线扮演着至关重要的角色。今天，我们将深入探讨B样条曲线和Nurbs曲线，它们是曲面和实体建模的强大工具。

B样条曲线：控制的进化

B样条曲线是贝塞尔曲线的升级版，引入了权重因子，赋予了我们局部修改的灵活性。这意味着，改变其中一个控制点只会影响曲线的一部分，而不是整体。

要理解B样条曲线，我们需要了解三个关键要素：

控制点： 这些点决定了曲线的形状。
阶数： 阶数决定了曲线的平滑度。
节向量： 它控制曲线的长度和形状，定义了控制点之间的关系。

Nurbs曲线：更上一层楼

Nurbs曲线（非均匀有理B样条曲线）是B样条曲线的进化版。它引入了权重函数，提供了更大的控制力和灵活性。权重函数允许我们调整每个控制点的权重，从而更精细地控制曲线的形状和位置。

Nurbs曲线在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学中有着广泛的应用。它们能够创建出极其复杂和精细的形状，这是B样条曲线无法比拟的。

比较：灵活性与控制力的权衡

B样条曲线和Nurbs曲线都具有局部修改的灵活性，但Nurbs曲线更胜一筹。它额外的权重函数提供了更高级别的控制力。这使得Nurbs曲线能够创建出更加复杂和逼真的形状。

代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义B样条曲线
def bspline_curve(control_points, t, k=4):
    """
    计算给定控制点和参数t的B样条曲线。

    参数：
        control_points: 控制点列表
        t: 参数值
        k: B样条曲线的阶数（默认为4）
    """

    # 检查控制点的数量和参数值
    n = len(control_points)
    assert k <= n, "阶数不能大于控制点数量"

    # 计算节点向量
    knots = np.zeros(n + k + 1)
    for i in range(k + 1):
        knots[i] = 0
    for i in range(k + 1, n):
        knots[i] = i - k
    for i in range(n, n + k + 1):
        knots[i] = n - k

    # 计算B样条基函数
    b_splines = []
    for i in range(n):
        b_splines.append(bspline_basis(t, i, k, knots))

    # 计算曲线点
    curve_point = np.zeros(3)
    for i in range(n):
        curve_point += control_points[i] * b_splines[i]

    return curve_point

# 定义B样条基函数
def bspline_basis(t, i, k, knots):
    """
    计算参数t和阶数k下的第i个B样条基函数。

    参数：
        t: 参数值
        i: 基函数的索引
        k: B样条曲线的阶数
        knots: 节点向量
    """

    if k == 0:
        return 1 if knots[i] <= t < knots[i + 1] else 0
    else:
        a = (t - knots[i]) / (knots[i + k] - knots[i])
        b = (knots[i + k + 1] - t) / (knots[i + k + 1] - knots[i + 1])
        return a * bspline_basis(t, i, k - 1, knots) + b * bspline_basis(t, i + 1, k - 1, knots)


# 测试B样条曲线
control_points = np.array([[0, 0], [1, 2], [3, 1], [4, 3]])
t = 0.5
curve_point = bspline_curve(control_points, t)

print(f"B样条曲线点在t={t}时的值为：{curve_point}")