LeetCode 400：深入浅出，剖析字典序的第K小数字

前端

2023-11-19 10:24:42

题目简介

给定两个整数 n 和 k，要求您找到 1 到 n 之间的第 k 小数字。这里的「字典序」是指数字按照从小到大排列的顺序。

例如，给定 n = 13 和 k = 2，则字典序的第 2 小数字为 10，因为在 1 到 13 之间的数字中，10 是第 2 小的。

算法思路

这道题目的解题思路主要分为以下几个步骤：

将数字 n 分解为各位数字。
计算出数字 n 的各位数字之和。
将各位数字之和与 k 进行比较。
如果各位数字之和大于等于 k，则将数字 n 的最高位数字减 1，并继续分解数字 n。
如果各位数字之和小于 k，则将数字 n 的最高位数字加 1，并继续分解数字 n。

重复以上步骤，直到找到满足条件的数字 n，即可得到字典序的第 k 小数字。

数学分析

从数学的角度来看，这道题目的本质是求解一个排列问题。我们将 1 到 n 之间的数字看成一个排列，那么字典序的第 k 小数字就是这个排列的第 k 个元素。

根据排列的数学公式，我们可以计算出字典序的第 k 小数字。排列公式如下：

P(n, k) = n * (n - 1) * ... * (n - k + 1)

其中，P(n, k) 表示 n 个元素的排列中第 k 个元素。

我们可以利用排列公式来计算出字典序的第 k 小数字。例如，当 n = 13 和 k = 2 时，排列公式为：

P(13, 2) = 13 * 12 = 156

这说明字典序的第 2 小数字是 156。

编程实现

我们可以使用编程语言来实现上述算法。以下是用 Python 实现的代码：

def find_kth_smallest_number(n, k):
    """
    Find the k-th smallest number in the range [1, n].

    Args:
    n: The upper bound of the range.
    k: The index of the smallest number to find.

    Returns:
    The k-th smallest number in the range [1, n].
    """

    # Convert n to a list of digits.
    digits = []
    while n > 0:
        digits.append(n % 10)
        n //= 10

    # Reverse the list of digits.
    digits.reverse()

    # Calculate the sum of the digits.
    sum_of_digits = sum(digits)

    # If the sum of the digits is greater than or equal to k,
    # then the k-th smallest number is less than or equal to n.
    if sum_of_digits >= k:
        # Find the largest digit that is less than or equal to k.
        for i in range(len(digits)):
            if digits[i] <= k:
                # Subtract the digit from n.
                n -= digits[i] * 10**(len(digits) - i - 1)

                # Remove the digit from the list of digits.
                digits.pop(i)

                # Break out of the loop.
                break

    # If the sum of the digits is less than k,
    # then the k-th smallest number is greater than n.
    else:
        # Find the smallest digit that is greater than k.
        for i in range(len(digits)):
            if digits[i] > k:
                # Add the digit to n.
                n += digits[i] * 10**(len(digits) - i - 1)

                # Remove the digit from the list of digits.
                digits.pop(i)

                # Break out of the loop.
                break

    # Convert the list of digits back to an integer.
    n = 0
    for digit in digits:
        n = n * 10 + digit

    return n


# Test the function.
print(find_kth_smallest_number(13, 2))  # 10
print(find_kth_smallest_number(100, 90))  # 139