机器人漫步路径：深入浅出的解答

前端

2023-11-08 15:15:07

想象一个机器人迷失在 m×n 大小的网格地图中，左上角是起点，右下角是终点。它每次只能向下或向右移动。那么，这个机器人有多少种路径可以到达终点？

这个经典的动态规划问题称为「机器人路径问题」，它看似简单，却蕴藏着丰富的数学原理。

动态规划：化繁为简

动态规划是一种解决复杂问题的有力工具，其核心思想是将大问题分解成一系列较小、相互重叠的子问题。对于机器人路径问题，我们可以定义一个状态 dp[i][j]，表示机器人从起点走到网格中第 i 行第 j 列有多少种路径。

初始化：起点只有一个路径

在起点 (1, 1) 处，机器人只有唯一一条路径，因此 dp[1][1] = 1。

转移方程：从左或下走来

对于网格中除起点外的其他位置，机器人可以从左方或下方移动而来。因此，我们可以写出转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

其中，dp[i-1][j] 表示从上方移动来的路径数，dp[i][j-1] 表示从左方移动来的路径数。

边界条件：网格边缘的路径

在网格的边缘，机器人只能从一个方向移动，因此边界条件为：

第一行：dp[1][j] = 1 (j > 1)
第一列：dp[i][1] = 1 (i > 1)

求解：递推计算路径数

根据转移方程和边界条件，我们可以逐行逐列递推计算网格中每个位置的路径数。最终，终点 (m, n) 处的路径数就是答案。

def robot_path(m, n):
  dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
  dp[1][1] = 1
  for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):
      dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
  return dp[m][n]

代码示例

下面是一个使用动态规划求解机器人路径问题的 Python 代码示例：

def robot_path(m, n):
  dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
  dp[1][1] = 1
  for i in range(1, m+1):
    for j in range(1, n+1):
      dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
  return dp[m][n]

print(robot_path(3, 4))  # 输出：10