探索动态规划的奥秘：路径问题的醍醐灌顶

后端

2023-10-25 19:47:10

动态规划：通往路径问题解决之道

在计算机科学领域，动态规划是一种强大的算法范式，它通过分解复杂问题为一系列更简单的子问题并逐步求解，在解决路径问题方面表现出非凡的效用。它以其高效性和最优解的保证而著称。

动态规划：核心概念

动态规划的精髓在于其递推特性，它允许我们从已解决的子问题中逐步构建问题的整体最优解。假设我们有一个网格，左上角为起点，右下角为目标。我们希望找到从起点到目标的最短路径。我们可以将这个问题分解为一系列子问题：从起点到每个网格点的最短路径。

利用动态规划，我们可以采用自底向上的方法，从起点开始，依次求解每个网格点的最短路径，并将其存储在网格中。当我们到达目标网格点时，我们便获得了从起点到目标的最短路径。

路径问题示例：不同路径

现在，让我们考虑一个典型的路径问题——不同路径。给定一个网格，左上角为起点，右下角为目标，有多少条不同的路径可以从起点到达目标？

动态规划解法

我们可以将问题分解为一系列子问题：从起点到达每个网格点的不同路径数。假设f(i, j) 表示从起点到达网格点**(i, j)** 的不同路径数。我们可以导出以下递推关系：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

Python代码实现

def unique_paths(m, n):
  """
  计算从网格左上角到右下角的不同路径数。
  
  :param m: 网格的行数
  :param n: 网格的列数
  :return: 不同路径数
  """

  # 创建动态规划表，记录从起点到每个网格点的不同路径数
  dp = [[0] * n for _ in range(m)]

  # 初始化边界条件
  for i in range(m):
    dp[i][0] = 1
  for j in range(n):
    dp[0][j] = 1

  # 递推计算每个网格点的不同路径数
  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

  # 返回右下角网格点的不同路径数
  return dp[m-1][n-1]

进阶示例：不同路径 II

在“不同路径 II”问题中，网格中存在障碍物。障碍物用数字 1 表示，可以通行的地方用数字 0 表示。我们的目标仍然是从起点到达目标，但这次我们需要考虑障碍物的影响。

动态规划解法

我们将障碍物信息纳入我们的动态规划表中。如果网格点(i, j)是障碍物，则f(i, j) 为 0。否则，f(i, j) 的递推关系与“不同路径”问题相同。

Python代码实现

def unique_paths_with_obstacles(grid):
  """
  计算从网格左上角到右下角的不同路径数，考虑障碍物。
  
  :param grid: 网格，其中 0 表示可通行，1 表示障碍物
  :return: 不同路径数
  """

  # 获取网格的维度
  m = len(grid)
  n = len(grid[0])

  # 创建动态规划表
  dp = [[0] * n for _ in range(m)]

  # 初始化边界条件
  for i in range(m):
    if grid[i][0] == 1:
      break
    dp[i][0] = 1
  for j in range(n):
    if grid[0][j] == 1:
      break
    dp[0][j] = 1

  # 递推计算每个网格点的不同路径数
  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      if grid[i][j] == 1:
        dp[i][j] = 0
      else:
        dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

  # 返回右下角网格点的不同路径数
  return dp[m-1][n-1]