神经网络学习笔记 4：Softmax 层与对数代价函数

导言

踏入神经网络学习的迷人世界，我们继续探索提升模型性能的强大技术。在上一篇笔记中，我们深入探讨了交叉熵方法。今天，我们将目光投向另一种颇具影响力的技术组合：Softmax 层和对数代价函数。

Softmax 层

Softmax 层是一种非线性激活函数，通常用于神经网络的输出层。它的作用是将输入值映射到概率分布，使网络能够预测类别中的每个样本的概率。

数学原理

对于给定的输入向量 z，Softmax 函数计算每个元素的指数，然后将它们除以所有指数的和：

softmax(z) = [exp(z1) / (exp(z1) + exp(z2) + ... + exp(zn)), ..., exp(zn) / (exp(z1) + exp(z2) + ... + exp(zn))]

作用

Softmax 层发挥着至关重要的作用：

• 多分类输出： 它使神经网络能够处理具有多个类别的分类问题。
• 概率解释： 输出概率分布可以直观地解释模型的预测置信度。
• 梯度稳定性： 与其他激活函数相比，Softmax 函数提供更稳定的梯度，有利于模型训练。

对数代价函数

对数代价函数是与 Softmax 层一起使用的损失函数。它衡量了模型预测概率分布与真实分布之间的差异。

数学原理

对于一个 N 类分类问题，其中 y 是真实标签，p 是模型预测概率：

对数代价函数 = - Σ[y log(p) + (1-y) log(1-p)]

作用

对数代价函数通过最大化网络对真实标签分配的高概率和最小化对错误标签分配的高概率来优化模型。

Softmax 层和对数代价函数的结合

Softmax 层和对数代价函数的组合为神经网络提供了以下优势：

• 多分类性能： Softmax 层处理多类别分类问题，而对数代价函数对模型输出进行优化。
• 概率解释： Softmax 输出的概率分布便于理解模型的预测。
• 训练效率： 对数代价函数梯度稳定性提高了模型训练的效率。

实例

考虑一个图像分类任务，神经网络试图将图像分类为猫或狗。

• Softmax 层： 神经网络的输出层将特征映射到 Softmax 层，生成 [猫的概率，狗的概率]。
• 对数代价函数： 如果真实标签为“猫”，则计算实际分布 [1, 0] 和预测分布 [p_cat, p_dog] 之间的对数代价。

结论

Softmax 层和对数代价函数的结合是增强神经网络多分类性能的重要工具。通过将输入映射到概率分布并优化模型预测，它们使神经网络能够自信地对类别进行预测。