算法（第4版）：理解并运用Union-Find算法

Union-Find 算法：管理集合，发现连接

概述

Union-Find 算法是一种巧妙的数据结构，用于管理一系列元素，并跟踪它们之间的连接关系。它通过维护一个集合集合来实现，每个元素都归属于一个唯一的集合。当我们想知道两个元素是否属于同一个集合时，我们只需检查它们是否属于同一个集合即可。如果是，它们就是连通的；如果不是，它们就是不连通的。

Union-Find 算法有两个主要操作：

• union(p, q)： 将元素 p 和 q 所在的集合合并为一个集合。
• find(p)： 查找元素 p 所在的集合。

实现

Union-Find 算法有多种实现方式。最常见的一种是使用数组来存储集合。在这个实现中，数组的每个元素代表一个集合。每个元素的值是该集合中某个元素的索引。当我们想要检查两个元素是否属于同一个集合时，我们只需要检查它们的值是否相同。如果相同，则它们是连通的；如果不是，则它们是不连通的。

public class UnionFind {

    private int[] parent;  // parent[i] = parent of i
    private int[] size;  // size[i] = number of elements in subtree rooted at i

    public UnionFind(int n) {
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;  // initially, each element is in its own set
            size[i] = 1;
        }
    }

    public int find(int p) {
        // find the root of the tree containing p
        while (p != parent[p]) {
            parent[p] = parent[parent[p]];  // path compression
            p = parent[p];
        }
        return p;
    }

    public void union(int p, int q) {
        // merge the sets containing p and q
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ) return;  // already in the same set
        // make the smaller tree a subtree of the larger tree
        if (size[rootP] < size[rootQ]) {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        } else {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        }
    }

    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }
}

应用

Union-Find 算法在许多问题中都有应用，例如：

• 确定两个元素是否属于同一个集合。
• 查找一个集合中的所有元素。
• 维护一组元素的连通性。
• 检测图中是否存在环。
• 计算图中的连通分量。

优势

• Union-Find 算法简单易懂。
• 它的实现非常容易。
• 它可以在许多不同的场景中使用。

总结

Union-Find 算法是一个强大的数据结构，可以帮助我们管理元素集合和跟踪它们的连接关系。它在许多不同的问题中都有应用，并且是一个非常有用的工具。

常见问题解答

• Union-Find 算法是如何工作的？
  它使用一个数组来存储集合。每个元素的值是集合中某个元素的索引。当我们想要检查两个元素是否属于同一个集合时，我们只需要检查它们的值是否相同。

• Union-Find 算法有哪些操作？
  它有两个主要操作：union(p, q) 和 find(p)。union 操作将两个元素所在的集合合并为一个集合，而 find 操作查找一个元素所在的集合。

• Union-Find 算法有什么应用？
  它可以用来解决许多问题，例如确定两个元素是否属于同一个集合，查找一个集合中的所有元素，维护一组元素的连通性，检测图中是否存在环，以及计算图中的连通分量。

• Union-Find 算法有哪些优势？
  它简单易懂，易于实现，并且可以在许多不同的场景中使用。

• 如何使用 Union-Find 算法？
  您可以创建一个 UnionFind 对象，并使用 union 和 find 操作来管理元素集合和跟踪它们的连接关系。