动态规划实战解题：813. 最大平均值和的分组

2024-02-12 03:35:48

最大平均值和分组：用动态规划破解这个难题

想象一下，你有一组数字，需要将它们分成几组，让每组的平均值尽可能大。这可不是个容易的挑战，但我们可以借助动态规划，一个解决复杂问题的强大工具，来轻松搞定。

动态规划：循序渐进地解决问题

动态规划是一种自顶向下的问题解决方法，它将大问题分解成一系列较小的问题，逐个解决，然后将子问题的解组合起来得到最终解。在这个分组问题中，我们将定义一个状态 dp(i, j)，表示前 i 个数字划分为 j 组的最大平均值和。

状态转移：探索所有可能性

我们使用状态转移方程来计算 dp(i, j) 的值。这个方程考虑了两种选择：将第 i 个数字添加到当前组或创建一个新的组。我们选择这两种选择中平均值和最大的那个作为 dp(i, j) 的值。

dp(i, j) = max(dp(i-1, j), dp(i-1, j-1) + a[i] / j)

其中，a[i] 是第 i 个数字。

初始化：设置初始条件

我们将 dp(0, j) 初始化为 0，因为没有数字时无法分组。

边界条件：限制参数范围

我们将 i 和 j 的取值范围限制在特定边界内，以避免越界错误。

复杂度分析：衡量效率

该算法的时间复杂度是 O(n^2)，其中 n 是数字的数量。这是因为我们需要迭代每个数字，并为每个数字计算 j 个子问题。

代码实现：将理论付诸实践

function maxAverage(nums, k) {
  if (nums.length < k) {
    throw new Error('The number of elements in the array must be greater than or equal to k.');
  }

  // Create a 2D array to store the dp values.
  const dp = Array(nums.length + 1).fill(0).map(() => Array(k + 1).fill(0));

  // Initialize the dp array.
  for (let i = 0; i <= nums.length; i++) {
    dp[i][0] = 0;
  }

  // Iterate over the array.
  for (let i = 1; i <= nums.length; i++) {
    // Iterate over the number of groups.
    for (let j = 1; j <= k; j++) {
      // Calculate the maximum average value for the current element.
      dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + nums[i-1] / j);
    }
  }

  // Return the maximum average value.
  return dp[nums.length][k];
}