二分图：计算机科学中的二分法应用

后端

2023-10-30 19:58:23

二分图简介

在图论中，二分图是一种特殊的简单无向图，可以被划分为两个不相交的子集，使得图中所有边均连接这两个子集中的顶点。换句话说，二分图是可以用一条路径将图中的顶点划分为两个集合的图，并且集合中的任意两个顶点之间没有边连接。

二分图在计算机科学中有着广泛的应用，包括最大匹配、最小点覆盖和着色等。在许多实际问题中，二分图模型可以很好地解决问题。例如，在资源分配、任务调度和网络流等领域，二分图模型都可以发挥重要作用。

判断二分图的必要条件

判断一个图形是否是二分图，可以通过以下两个必要条件来判断：

图中不存在奇数环。
图中不存在交错路径。

其中，奇数环是指边数为奇数的环，交错路径是指边数为偶数，且起点和终点在不同集合中的路径。

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义图的结构
struct Graph {
  int num_vertices;
  vector<vector<int>> adj_list;

  Graph(int num_vertices) : num_vertices(num_vertices), adj_list(num_vertices) {}

  void add_edge(int u, int v) {
    adj_list[u].push_back(v);
    adj_list[v].push_back(u);
  }
};

// 检查图中是否存在奇数环
bool has_odd_cycle(const Graph& graph) {
  // 使用广度优先搜索来检查图中是否存在奇数环
  vector<int> distance(graph.num_vertices, -1);
  vector<int> parent(graph.num_vertices, -1);

  for (int i = 0; i < graph.num_vertices; i++) {
    if (distance[i] == -1) {
      // 如果当前顶点没有被访问过，则从该顶点开始广度优先搜索
      if (has_odd_cycle_dfs(graph, i, distance, parent)) {
        return true;
      }
    }
  }

  return false;
}

// 使用广度优先搜索来检查图中是否存在奇数环
bool has_odd_cycle_dfs(const Graph& graph, int u, vector<int>& distance, vector<int>& parent) {
  // 标记当前顶点已访问过
  distance[u] = 0;

  // 从当前顶点开始广度优先搜索
  for (int v : graph.adj_list[u]) {
    if (distance[v] == -1) {
      // 如果当前顶点的相邻顶点没有被访问过，则继续搜索
      parent[v] = u;
      if (has_odd_cycle_dfs(graph, v, distance, parent)) {
        return true;
      }
    } else if (v != parent[u]) {
      // 如果当前顶点的相邻顶点已被访问过，且不是当前顶点的父顶点，则说明存在奇数环
      return true;
    }
  }

  return false;
}

// 检查图中是否存在交错路径
bool has_alternating_path(const Graph& graph) {
  // 将图划分为两个集合
  vector<int> color(graph.num_vertices, -1);

  // 从第一个顶点开始深度优先搜索
  if (has_alternating_path_dfs(graph, 0, color)) {
    return true;
  }

  return false;
}

// 使用深度优先搜索来检查图中是否存在交错路径
bool has_alternating_path_dfs(const Graph& graph, int u, vector<int>& color) {
  // 标记当前顶点的颜色
  color[u] = 0;

  // 从当前顶点开始深度优先搜索
  for (int v : graph.adj_list[u]) {
    if (color[v] == -1) {
      // 如果当前顶点的相邻顶点没有被访问过，则继续搜索
      color[v] = 1 - color[u];
      if (has_alternating_path_dfs(graph, v, color)) {
        return true;
      }
    } else if (color[v] == color[u]) {
      // 如果当前顶点的相邻顶点已被访问过，且颜色与当前顶点相同，则说明存在交错路径
      return true;
    }
  }

  return false;
}

// 判断一个图是否是二分图
bool is_bipartite(const Graph& graph) {
  return !has_odd_cycle(graph) && !has_alternating_path(graph);
}

// 测试代码
int main() {
  // 创建一个二分图
  Graph graph(6);
  graph.add_edge(0, 1);
  graph.add_edge(0, 2);
  graph.add_edge(1, 3);
  graph.add_edge(1, 4);
  graph.add_edge(2, 4);
  graph.add_edge(2, 5);
  graph.add_edge(3, 5);

  // 判断图是否是二分图
  if (is_bipartite(graph)) {
    cout << "The graph is bipartite." << endl;
  } else {
    cout << "The graph is not bipartite." << endl;
  }

  return 0;
}

实例

int main() {
  // 创建一个不是二分图的图
  Graph graph(6);
  graph.add_edge(0, 1);
  graph.add_edge(0, 2);
  graph.add_edge(1, 3);
  graph.add_edge(1, 4);
  graph.add_edge(2, 3);
  graph.add_edge(2, 5);
  graph.add_edge(3, 5);

  // 判断图是否是二分图
  if (is_bipartite(graph)) {
    cout << "The graph is bipartite." << endl;
  } else {
    cout << "The graph is not bipartite." << endl;
  }

  return 0;
}