二分查找法全面指南：突破边界条件的通用思考框架

2023-11-05 12:07:48

二分查找原理及基础实现

二分查找是一种高效的搜索算法，能在有序数组中快速找到指定元素。其核心思想是将目标值与中间值比较，根据比较结果缩小查找范围至一半，直至找到目标或确定不存在。

基本框架：

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1  # 没有找到目标值，返回-1

边界条件通用思考框架

边界问题主要出现在循环终止条件、mid计算及更新left和right上。理解这些关键点，有助于避免错误。

确定搜索空间的起始范围：

left = 0 和 right = len(arr) - 1 指定了数组左右两端。
若直接使用 right = len(arr) 而不是 len(arr) - 1，可能造成索引越界。

循环终止条件：

使用 while left <= right: 确保查找范围不会遗漏任何元素。若用 < 可能会过早结束搜索。
正确的终止条件保证了算法能够覆盖所有情况，而无需在循环外进行额外检查。

计算中间点：

中间值计算为 mid = (left + right) // 2 防止大数相加溢出。也可用位运算 (left + right) >> 1。
正确的 mid 计算方式是实现二分查找的核心，确保每次迭代都将数组分为两个部分。

更新搜索范围：

当 arr[mid] < target 时，left = mid + 1，因为目标在右半边且不包括 mid。
相反情况设置 right = mid - 1。这两步确保了每次迭代都缩小查找空间，并保持搜索范围的完整性。

应用场景及优化

二分查找可应用于多种问题，如寻找第一个大于等于目标值的位置、最后一个等于或小于目标值的位置等。每种变体需要调整边界条件和更新策略来实现不同的逻辑目标。

寻找第一个出现的目标元素：

def find_first_occurrence(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    result = -1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            result = mid
            right = mid - 1  # 继续向左搜索
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return result