[路飞][LeetCode]剑指 Offer 51. 数组中的逆序对

逆序对：算法和数据结构中的关键概念

什么是逆序对？

逆序对是指一个数组中，一个较小的数字出现在一个较大的数字之后所形成的数对。例如，在数组 [7, 5, 6, 4] 中，存在三个逆序对：(7, 5), (7, 6) 和 (7, 4)。

逆序对的计算

计算逆序对的方法有很多，其中一种最常用的方法是归并排序算法。归并排序将一个数组分成两个子数组，然后再将它们合并成一个有序的数组。在合并子数组时，可以计算逆序对的数量。

逆序对的应用

逆序对在算法中有广泛的应用，其中最著名的就是归并排序算法。此外，逆序对还应用于以下算法：

• 计数排序
• 桶排序
• 堆排序
• 快速排序
• 树状数组
• 线段树

Python 代码示例

def merge_sort(nums):
    if len(nums) <= 1:
        return nums, 0

    mid = len(nums) // 2
    left_nums, left_cnt = merge_sort(nums[:mid])
    right_nums, right_cnt = merge_sort(nums[mid:])

    merged_nums, merge_cnt = merge(left_nums, right_nums)

    return merged_nums, left_cnt + right_cnt + merge_cnt

def merge(left_nums, right_nums):
    merged_nums = []
    merge_cnt = 0

    left_idx = 0
    right_idx = 0

    while left_idx < len(left_nums) and right_idx < len(right_nums):
        if left_nums[left_idx] <= right_nums[right_idx]:
            merged_nums.append(left_nums[left_idx])
            left_idx += 1
        else:
            merged_nums.append(right_nums[right_idx])
            right_idx += 1
            merge_cnt += len(left_nums) - left_idx

    while left_idx < len(left_nums):
        merged_nums.append(left_nums[left_idx])
        left_idx += 1

    while right_idx < len(right_nums):
        merged_nums.append(right_nums[right_idx])
        right_idx += 1

    return merged_nums, merge_cnt

nums = [7, 5, 6, 4]
sorted_nums, cnt = merge_sort(nums)
print(sorted_nums)
print(cnt)

结论

逆序对是算法和数据结构中一个重要的概念。理解逆序对的计算和应用可以帮助你提高算法和编程技能。通过练习和探索，你可以在算法领域中取得进一步的进步。

常见问题解答

1. 如何计算一个数组中的逆序对？

可以使用归并排序算法来计算一个数组中的逆序对。

2. 逆序对有哪些应用？

逆序对在算法和数据结构中有广泛的应用，包括归并排序、计数排序、桶排序、堆排序、快速排序、树状数组和线段树。

3. 如何用 Python 计算逆序对？

可以用归并排序算法来用 Python 计算逆序对。具体实现代码如下：

def merge_sort(nums):
    if len(nums) <= 1:
        return nums, 0

    mid = len(nums) // 2
    left_nums, left_cnt = merge_sort(nums[:mid])
    right_nums, right_cnt = merge_sort(nums[mid:])

    merged_nums, merge_cnt = merge(left_nums, right_nums)

    return merged_nums, left_cnt + right_cnt + merge_cnt

def merge(left_nums, right_nums):
    merged_nums = []
    merge_cnt = 0

    left_idx = 0
    right_idx = 0

    while left_idx < len(left_nums) and right_idx < len(right_nums):
        if left_nums[left_idx] <= right_nums[right_idx]:
            merged_nums.append(left_nums[left_idx])
            left_idx += 1
        else:
            merged_nums.append(right_nums[right_idx])
            right_idx += 1
            merge_cnt += len(left_nums) - left_idx

    while left_idx < len(left_nums):
        merged_nums.append(left_nums[left_idx])
        left_idx += 1

    while right_idx < len(right_nums):
        merged_nums.append(right_nums[right_idx])
        right_idx += 1

    return merged_nums, merge_cnt

nums = [7, 5, 6, 4]
sorted_nums, cnt = merge_sort(nums)
print(sorted_nums)
print(cnt)

4. 逆序对在归并排序中的作用是什么？

归并排序利用逆序对来计算合并两个有序子数组时的逆序对数量，从而提高了算法的效率。

5. 逆序对在快速排序中的作用是什么？

快速排序中使用了一种名为“随机化”的技术，它可以基于逆序对的数量来选择枢纽元素，从而提高算法的平均时间复杂度。