饭后茶思：破解难题 - O(log(m + n)) 获取两递增数组的中位数

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2023-09-02 04:19:13

巧用二分查找，高效求解有序数组中位数

前言

在编程领域，高效求解两个递增有序数组的中位数是一个经典算法问题。中位数是将一个序列按从小到大排序后，位于序列中间位置的数值。本文将介绍一种巧妙的二分查找算法，帮助你轻松解决这个问题，并提升你在实际项目中的编码能力。

算法步骤

1. 定义中位数

中位数的定义很简单。对于奇数个元素的序列，中位数为序列中间位置的元素；对于偶数个元素的序列，中位数为序列中间两个元素的平均值。

2. 计算合并数组的中位数索引

假设两个有序数组为 nums1 和 nums2，长度分别为 m 和 n。合并后，中位数索引为 (m + n) / 2，对于奇数个元素序列，中位数索引为 (m + n + 1) / 2。

3. 逐步逼近中位数

利用二分查找思想，我们逐步缩小中位数的搜索范围。初始化两个指针 i 和 j，指向 nums1 和 nums2 的起始位置。

4. 比较数组元素

如果 i 和 j 均未达到其各自数组的末尾，比较 nums1[i] 和 nums2[j] 的大小。如果 nums1[i] <= nums2[j]，则 mid 左侧的元素数量为 i + j + 1；否则，mid 左侧的元素数量为 i + j。

5. 确定中位数

根据 mid 左侧元素数量，我们可以确定中位数。如果 mid 左侧的元素数量等于 mid，则中位数为 nums1[i] 和 nums2[j] 中较小的那个；如果 mid 左侧的元素数量为 mid - 1，则中位数为 nums1[i] 和 nums2[j] 中较大的那个。

6. 更新指针

根据比较结果，更新指针 i 和 j。如果 mid 左侧的元素数量小于 mid，则 i++；如果 mid 左侧的元素数量大于 mid，则 j++。

7. 重复步骤

重复步骤 2-6，直至 i 或 j 达到其各自数组的末尾。此时，我们找到了最终的中位数。

代码示例

def find_median(nums1, nums2):
  """
  Finds the median of two sorted arrays.

  Args:
    nums1 (list): The first sorted array.
    nums2 (list): The second sorted array.

  Returns:
    float: The median of the two arrays.
  """

  m = len(nums1)
  n = len(nums2)

  if (m + n) % 2 == 1:
    return find_kth_smallest(nums1, nums2, (m + n) // 2)
  else:
    k1 = (m + n) // 2 - 1
    k2 = (m + n) // 2
    return (find_kth_smallest(nums1, nums2, k1) + find_kth_smallest(nums1, nums2, k2)) / 2

def find_kth_smallest(nums1, nums2, k):
  """
  Finds the kth smallest element in two sorted arrays.

  Args:
    nums1 (list): The first sorted array.
    nums2 (list): The second sorted array.
    k (int): The index of the smallest element to find.

  Returns:
    int: The kth smallest element.
  """

  i = j = 0

  while i + j < k:
    if i < len(nums1) and (j == len(nums2) or nums1[i] <= nums2[j]):
      i += 1
    else:
      j += 1

  if i == len(nums1):
    return nums2[j]
  else:
    return nums1[i]